Интеграл, требующий все.

[Morkonwen]

Чтобы взять этот интеграл придется применить все, что вы знаете. Не нужно стеснятся в выборе средств. Задача интересна тем, как применить то, что все мы изучали в вузе к действительно не простым случаям.
$\int_{-\infty}^{\infty}t\,(V_1+V_2 \sin(\omega\,t+\omega\,\tau))\,e^{-\alpha^2\,t^2}$dt

[worm2]

Morkonwen в сообщении #437297 писал(а):

Не нужно стеснятся в выборе средств

Ну, я и не постеснялся:
Wolfram Mathematica Online Integrator.

[Morkonwen]

И что, интересно было вбивать=)? Вы ручками посчитайте, да несобственность используйте. В общем виде выходит такая хрень.

[ewert]

Morkonwen в сообщении #437297 писал(а):

Чтобы взять этот интеграл придется применить все, что вы знаете.

Ну я вот, например, знаю, как искать жорданову форму матрицы. Но как применить её к этому интегралу -- ума не приложу...

А если без жордановой формы, то тогда можно и посчитать:

$$=V_2\cos(\omega\tau)\int\limits_{-\infty}^{+\infty}t\sin(\omega t)e^{-\alpha^2t^2}dt=V_2\cos(\omega\tau)\cdot\mathop\mathrm{Im}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}t\,e^{-\alpha^2t^2+i\omega t}dt=$$

$$=V_2\cos(\omega\tau)\cdot\mathop\mathrm{Im}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}t\,e^{-\alpha^2(t-\frac{i\omega}{2\alpha^2})^2-\frac{\omega^2}{4\alpha^2}}dt=V_2\cos(\omega\tau)\,e^{-\frac{\omega^2}{4\alpha^2}}\cdot\mathop\mathrm{Im}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}(z+\frac{i\omega}{2\alpha^2})\,e^{-\alpha^2z^2}dz=$$

$$=V_2\cos(\omega\tau)\,e^{-\frac{\omega^2}{4\alpha^2}}\frac{\omega\sqrt{\pi}}{4\alpha^3}.$$

[nnosipov]

ewert в сообщении #437366 писал(а):

Ну я вот, например, знаю, как искать жорданову форму матрицы. Но как применить её к этому интегралу -- ума не приложу...

Зря Вы так. А вдруг у него $\alpha$ --- это матрица?

[Morkonwen]

Правильно, ну у меня просто ушло на него пол вечера, так что я подумал, что он довольно сложный =)

[Утундрий]

Цитата:

Интеграл, требующий все.

По-моему он только вычетов требует...

[Morkonwen]

Нет, эта функция не сходится к нулю на бесконечности

[ewert]

Утундрий в сообщении #437464 писал(а):

По-моему он только вычетов требует..

Вычетов он как раз ни разу не требует. Правда, действительно требует ТФКП, но только совсем-совсем маленько (для оправдания корректности перехода от сдвинутой горизонтальной оси к вещественной).

А вообще это стандартная учебная задача. Непонятно, что она делает в благородном опчестве олимпиадных.

[Morkonwen]

ewert в сообщении #437569 писал(а):

А вообще это стандартная учебная задача. Непонятно, что она делает в благородном опчестве олимпиадных.

Это мои заблуждения насчет её сложности. Наверное модераторы могут её куда -нибудь перенести.

[Toucan]

Morkonwen в сообщении #437709 писал(а):

аверное модераторы могут её куда -нибудь перенести.

Перенес в учебный раздел.

(ewert)

ewert в сообщении #437569 писал(а):

А вообще это стандартная учебная задача.

Замечание за размещение полного решения стандартной учебной задачи.