2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Перемена порядков суммирования и интегрирования
Сообщение21.04.2011, 23:44 


16/03/09
24
Добрый вечер! Пожалуйста, подскажите почему можно поменять порядки интегрирования и суммирования в выражении:
$$\int_0^\infty y^{13}\sum_{n=1}^\infty n^6e^{-2\pi ny}dy$$
То есть почему:
$$\int_0^\infty y^{13}\sum_{n=1}^\infty n^6e^{-2\pi ny}dy=\sum_{n=1}^\infty \int_0^\infty y^{13}n^6e^{-2\pi ny}dy$$
Легко доказать, что $$\left|\int_0^1y^{13}\sum_{n=1}^\infty n^6e^{-2\pi ny}dy\right|\le \int_0^1y^6dy<+\infty$$
$$\left|\int_1^\infty y^{13}\sum_{n=1}^\infty n^6e^{-2\pi ny}dy\right|\le \int_1^\infty y^{13}\cdot e^{-2\pi y}dy< +\infty$$
То есть первоначальный интеграл будет сходиться абсолютно. Следует ли отсюда, что перемена порядков законна?

 Профиль  
                  
 
 Re: Перемена порядков суммирования и интегрирования
Сообщение22.04.2011, 06:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
Нужна равномерная сходимость ряда, чтобы его можно было интегрировать

 Профиль  
                  
 
 Re: Перемена порядков суммирования и интегрирования
Сообщение22.04.2011, 11:46 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
SpBTimes в сообщении #437606 писал(а):
Нужна равномерная сходимость ряда, чтобы его можно было интегрировать

Не "нужна", а достаточна. Однако достаточно и просто положительности всех членов. Это следует, например, из теоремы Леви о монотонной сходимости.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group