Перемена порядков суммирования и интегрирования

[mushti]

Добрый вечер! Пожалуйста, подскажите почему можно поменять порядки интегрирования и суммирования в выражении:

$$\int_0^\infty y^{13}\sum_{n=1}^\infty n^6e^{-2\pi ny}dy$$

То есть почему:

$$\int_0^\infty y^{13}\sum_{n=1}^\infty n^6e^{-2\pi ny}dy=\sum_{n=1}^\infty \int_0^\infty y^{13}n^6e^{-2\pi ny}dy$$

Легко доказать, что

$$\left|\int_0^1y^{13}\sum_{n=1}^\infty n^6e^{-2\pi ny}dy\right|\le \int_0^1y^6dy<+\infty$$

$$\left|\int_1^\infty y^{13}\sum_{n=1}^\infty n^6e^{-2\pi ny}dy\right|\le \int_1^\infty y^{13}\cdot e^{-2\pi y}dy< +\infty$$

То есть первоначальный интеграл будет сходиться абсолютно. Следует ли отсюда, что перемена порядков законна?

[SpBTimes]

Нужна равномерная сходимость ряда, чтобы его можно было интегрировать

[ewert]

SpBTimes в сообщении #437606 писал(а):

Нужна равномерная сходимость ряда, чтобы его можно было интегрировать

Не "нужна", а достаточна. Однако достаточно и просто положительности всех членов. Это следует, например, из теоремы Леви о монотонной сходимости.