Множества

[Nogin Anton]

Доброго времени суток!

Подскажите, как доказать аналитически справедливость тождества?

$A\cap (B\C)=(A\cap B)\(A\cap C)$

построил диаграммы Эйлера-Венна.. получилось, что тождество верно..

[Joker_vD]

Смотря что есть на руках. В том курсе, что читали мне, доказывали через предикаты — каждому множеству $A$ ставится в соответствие предикат $P_A(x) = \left\{\begin{array}{cc} \mathbf{T} & \text{if }x \in A, \\ \mathbf{F} & \text{if }x\notin A. \end{array} \right.$

Операции пересечения, объединения и вычитания множеств вводятся через конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание их предикатов, тогда проверка вашего тождества сводится к законам де Моргана для предикатов.

[Nogin Anton]

Пробую методом эквивалентных преобразований... получается, что тождество не верно.. :wall:

Пусть для произвольного х высказывание

x\in (B\C) истинно.

Тогда по определению операции пересечение:

x\in A\&x\in B\x \not \in C

По определению операции вычитание:

x\in A\&x\in B x\not \in C

Для правой части:

(x\in A\& x\in B)\x\in A \& x\in C <=> x\not \in A \& x\in B \& x\not \in C

[maxmatem]

Мне кажется, что проще в лоб. Просто взять произвольный элемент из левой части и показать, что он принадлежит правой части и наоборот.

[Joker_vD]

Nogin Anton, сложно понять, что у вас происходит в формулах. Попробуйте что-нибудь врое:

$x \in A \cap (B \setminus C), x \in A \wedge x \in B \wedge x \notin C$

x \in A \cap (B \setminus C), x \in A \wedge x \in B \wedge x \notin C

maxmatem
Топикстартер так и пытается, но что-то у него не заладилось... увы, не могу понять, что именно.

Ну хорошо, смотрите, слева у вас есть $x \in A \wedge x \in B \wedge x \notin C$, а справа — $x \in A \wedge x \in B \wedge x \notin (A \cap C)$. Правая часть мясистее, поэтому ее надо обкромсать до левой части, главное, аккуратно раскройте непринадлежность пересечению. А если вы пойдете слева направо, то в жизни не догадаетесь, что там надо пририсовать.

[Nogin Anton]

Не пойму только.., почему вместо амперсанда в формулах ставится логическое "или"?

Для правой части получается так:

$x\in A \wedge x\in B \wedge x\notin A \wedge x\notin C$

Всё равно, множество А куда-то девается..

[Joker_vD]

(Оффтоп)

Nogin Anton в сообщении #437245 писал(а):

Не пойму только.., почему вместо амперсанда в формулах ставится логическое "или"?

Это логическое "и", конъюнкция. Мне просто привычнее с такими значками работать, а если не можете запомнить, что конъюнкция — это "и", крышечка вверх, а дизъюнкция — это "или", крышечка вниз, то повторяйте каждое утро и вечер фразу "Кони всплывают, а дизили тонут" ("кони" — конъюнкция, "и"; "всплывают" — крышечка показывает вверх; с дизилями аналогично ), и через недельку запомните.

Вы неправильно раскрыли непринадлежность пересечению. Если элемент принадлежит пересечению, то он принадлежит и первому, и второму множествам. А если элемент не принадлежит пересечению, то он не принадлежит или первому, или второму множеству. А вовсе не "не принадлежит ни первому, ни второму множеству".

P.S. $A \wedge B, C \vee D$

$$A \wedge B, C \vee D$$

[ewert]

Надо попросту записать обе разности через пересечение и дополнение: $A\cap(B\cap\overline C)=(A\cap B)\cap\overline{(A\cap C)}$. После тупого раскрытия скобок автоматически равенство и получится.

[Nogin Anton]

То есть

$(x\in A & x\in B)\setminus (x\in A& x\in C)$ <=>

$x\in A& x\in B & x\notin C$

Я Вас верно понял?

-- Чт апр 21, 2011 21:02:08 --

Ещё вопрос.. как называется операция над множествами, которая обозначается заштрихованным треугольником - ▲?

[arseniiv]

Знаю незаштрихованный — симметрическую разность $A \vartriangle B$.

(Оффтоп)

$a\,\&\,b$ (наведите курсор на формулу для кода), а то амперсанд не распознаётся.

[Nogin Anton]

Большое спасибо! :)

А с чего можно начать доказательство тождества?

$X*(Y\setminus Z)=(X*Y)\(X*Z)$

графическим способом не получилось...

[Joker_vD]

Что такое "звездочка"?

[Nogin Anton]

прямое произведение))

[Joker_vD]

Ну, тут уж совсем — в левой части все элементы, у которых первая координата лежит в $X$, а вторая в $Y$, но не в $Z$. Справа же все элементы, у которых... хм, придется прерваться, иначе выйдет "полное решение учебной задачи". В общем, справа все то же самое, только слова чуть другие.

P.S. $X \times Y = \{(x,y) \mid x\in X,\; y\in Y \}$ — прямое произведение.

$X \times Y$

[Nogin Anton]

У меня что-то не получается...

Для левой части:

$x\in X \& y\in Y \& y\notin Z$

Для правой части:

$x\in X \& y\in Y \& x\notin X \& y \notin Z$