Игра с квадратными уравнениями

[nnosipov]

age в сообщении #436876 писал(а):

nnosipov в сообщении #436832 писал(а):

Такое ощущение, что в Вашей игре можно перечислить все пары $(m,n)$ выигрышных чисел.

Зачем перечислить, когда есть точная система уравнений, которая точно решается. Можно доказать, что данные решения не являются частными, т.е. их бесконечно много.

Всегда приятно найти все решения.

-- Ср апр 20, 2011 07:20:56 --

RIP в сообщении #436898 писал(а):

Ну, "куча" --- это слишком громко. Кроме (x,x+2), только 3 решения: (7,15), (33,17), (45,23).[/off]

А ведь действительно куча. Но это потому что коэффициенты $\pm 8$ всё-таки не маленькие. Представляю, что будет в Ксенином случае.

[age]

nnosipov в сообщении #436900 писал(а):

Всегда приятно найти все решения.

Ну ещё бы

[w0robey]

nnosipov в сообщении #436868 писал(а):

Наверное, Вы хотели написать .

Конфуз вышел... всё что я написал выше, не в тот сайт... у меня в телефоне адреса не отображаются, а оформление без картинок одинаковое... Ну сейчас в компьютере, не перепутаю
nnosipov, да, у меня вышел $y=x+2$ простой подстановкой y=x+n... но как высчитать побочные, я не знаю... пока...

[nnosipov]

Ok, ждём-с. Выше я уже писал, что приятно найти все решения. Но самое приятное --- это доказать, что других решений действительно нет

Кстати, Xenia1996, а для Вас эта задача очевидная?

[RIP]

Тупой перебор на компе* показывает, что помимо тривиальных решений $m+n+2010=0$ есть только такие: $\{m,n\}=\{7104,-7656\},\{20904,-13266\}$.

(*программа для PARI/GP)

Не пытался чего-то мудрить и оптимизировать, поскольку всё равно перебор небольшой, тем более что с программированием я на Вы. Короче, писал первое, что пришло в голову. Комментировать лень, извините. Скажу только, что в случае $m,n<0$ я вообще не пытался что-то придумать и сделал перебор по всем $|mn|\le a^2/4$, а в случае $m>0>n$ я перешёл к переменным $x,y$ с помощью $m^2-8040n=(m+2x)^2,n^2-8040m=(n-2y)^2$.

condition(a,m,n)=m*n*(a^2-4*m*n)*issquare(a^2-4*m*n)*(m^2-4*a*n)*issquare(m^2-4*a*n)*(n^2-4*a*m)*issquare(n^2-4*a*m)*(a+m+n)
case2(a)=for(m=1,a/2,for(n=m,a^2/4/m,if(condition(a,-m,-n),print("a=",a,", m=",-m,", n=",-n))))
check(a,x,y)=if((y*(x^2-a*y)%(a^2-x*y)==0)*(x*(y^2-a*x)%(a^2-x*y)==0),{m=y*(x^2-a*y)/(a^2-x*y);n=x*(y^2-a*x)/(a^2-x*y);if((n+2*y<0)*(issquare(a^2-4*m*n)),print("a=",a,", m=",m,", n=",n))})
run31(a,x)=fordiv(a*(a^3-x^3),d,if((a^2+d)%x==0,check(a,x,(a^2+d)/x)))
run32(a,x)=fordiv(a*(a^3-x^3),d,if((a^2-x^3/a<d)*(d<a^2)*((a^2-d)%x==0),check(a,x,(a^2-d)/x)))
case3x(a)=for(x=1,a-1,{run31(a,x);run32(a,x)})
run33(a,y)=fordiv(a*(a^3-y^3),d,if((d<a^2-a*y)*((a^2-d)%y==0),check(a,(a^2-d)/y,y)))
case3y(a)=for(y=1,a-1,run33(a,y))
final(a)=
{
case2(a);
case3x(a);
case3y(a)
}
final(2010)

[nnosipov]

RIP в сообщении #437227 писал(а):

Тупой перебор на компе* показывает, что помимо тривиальных решений $m+n+2010=0$ есть только такие: $\{m,n\}=\{7104,-7656\},\{20904,-13266\}$.

(*программа для PARI/GP)

Не пытался чего-то мудрить и оптимизировать, поскольку всё равно перебор небольшой, тем более что с программированием я на Вы. Короче, писал первое, что пришло в голову. Комментировать лень, извините. Скажу только, что в случае $m,n<0$ я вообще не пытался что-то придумать и сделал перебор по всем $|mn|\le a^2/4$, а в случае $m>0>n$ я перешёл к переменным $x,y$ с помощью $m^2-8040n=(m+2x)^2,n^2-8040m=(n-2y)^2$.

condition(a,m,n)=m*n*(a^2-4*m*n)*issquare(a^2-4*m*n)*(m^2-4*a*n)*issquare(m^2-4*a*n)*(n^2-4*a*m)*issquare(n^2-4*a*m)*(a+m+n)
case2(a)=for(m=1,a/2,for(n=m,a^2/4/m,if(condition(a,-m,-n),print("a=",a,", m=",-m,", n=",-n))))
check(a,x,y)=if((y*(x^2-a*y)%(a^2-x*y)==0)*(x*(y^2-a*x)%(a^2-x*y)==0),{m=y*(x^2-a*y)/(a^2-x*y);n=x*(y^2-a*x)/(a^2-x*y);if((n+2*y<0)*(issquare(a^2-4*m*n)),print("a=",a,", m=",m,", n=",n))})
run31(a,x)=fordiv(a*(a^3-x^3),d,if((a^2+d)%x==0,check(a,x,(a^2+d)/x)))
run32(a,x)=fordiv(a*(a^3-x^3),d,if((a^2-x^3/a<d)*(d<a^2)*((a^2-d)%x==0),check(a,x,(a^2-d)/x)))
case3x(a)=for(x=1,a-1,{run31(a,x);run32(a,x)})
run33(a,y)=fordiv(a*(a^3-y^3),d,if((d<a^2-a*y)*((a^2-d)%y==0),check(a,(a^2-d)/y,y)))
case3y(a)=for(y=1,a-1,run33(a,y))
final(a)=
{
case2(a);
case3x(a);
case3y(a)
}
final(2010)

Симпатичный ответ. Поначалу показался странным (куда подевались те кучи нетривиальных решений?), но потом вспомнил про третье уравнение $2010^2-4mn=\square$.

[Xenia1996]

Кажется, до меня стало потихонечку доходить, в чём тут дело. Но лучше поздно, чем никогда.
Увидела вот эту задачу и нашла ответ $(1, 4, -5)$, а там $(1, 2, -3)$.
Вроде, выходит, что любая троечка вида $(1, n, -(n+1))$ работает.

(Но самый большой прикол)

это то, что на русском языке я этой задачи не нашла, хоть она и с АСУ

[nnosipov]

Ксения, обратите внимание на наличие "несерийных" решений (выше они все перечислены).

[Xenia1996]

nnosipov в сообщении #445827 писал(а):

Ксения, обратите внимание на наличие "несерийных" решений (выше они все перечислены).

(Оффтоп)

Да, теперь вижу. Тогда я эту задачу просто не до конца поняла (видимо, не созрела). А сейчас весь пазл собрался в единую катринку