Вопрос по статье о финслеровых углах

[В.О.]

Time, позвольте задать вопрос по статье http://hypercomplex.xpsweb.com/articles ... /11-04.pdf
На стр. 49 в формуле (25) должно быть
$q_1 = U_1 = C'_1= const$
$q_2 = U_2 = C'_2= const$
И должны выполняться соотношения
$2q_1q_2 + q_2^2 = C_1$
$2q_1q_2 + q_1^2 = C_2$
Но об этом сразу забывается. В частности, совместимы ли эти два уравнения с соотношением (26)?

[Kallikanzarid]

Жму вашу руку - сам я сквозь это продираться не решился

[nermo7]

Система уравнений перед (25) не накладывает никаких ограничений на параметры q_1 и q_2, поскольку параметры C_1 и С_2 - произвольны. Они нигде дальше не фигурируют, поэтому про них можно дальше забыть. Реальные ограничение накладывает условие натуральности параметра s, т.е. условие единичности вектра скорости. Оно и выражается условием (26).

[Time]

В.О. в сообщении #435548 писал(а):

Time, позвольте задать вопрос по статье

nermo7 - ответил. Надеюсь, этого достаточно.

Kallikanzarid в сообщении #435550 писал(а):

Жму вашу руку - сам я сквозь это продираться не решился

Вы задали целую кучу вопросов, неужели ни по одному ответу на них "продираться не решились" и совсем нечего сказать? Как минимум половина в этих ответах и в ссылках на источники представляет собой элементарные вещи. DVD то хоть посмотрели?

[Kallikanzarid]

@Time, я почитал отчет AMS по финслеровой геометрии, Википедию и т. д. - достаточно, чтобы понять, что это вполне разумная область для исследования. Только вот ваши маргинальные теории меня по-прежнему не впечатляют, они очень громоздкие и мало пересекаются с современной математикой. Это такой XIX век на стероидах

[Time]

В отличие от вас, многие из тех, кто разрабатывал эту самую как вы выразились "разумную область для исследований" считают "мои маргинальные теории" вполне разумными и отвечающими на многие вопросы. Да, мои построения расходятся с принятыми большинством других исследователей финслеровых пространств уже на уровне фундамента (у них обобщение метрического тензора, а у нас обобщение скалярного произведения), но для отказа от моих предложений нужна аргументированная критика, а не сентенции типа "впечатлило/не впечатлило". На такой подвиг способны, или нет мОчи разобраться?

[Kallikanzarid]

Вы сейчас со мной не МПХ меряетесь (я надеюсь), так что не нужно тут потрясать одобрением неназванных авторитетов, ОК? И таки да, то, что делаете вы, на нормальную финслерову геометрию не похоже.

Цитата:

у них обобщение метрического тензора, а у нас обобщение скалярного произведения

Потрясно - вы даже не понимаете основ области, которую якобы развиваете. Да что там, вы даже не понимаете основ римановой геометрии, раз такое говорите.

[Time]

Kallikanzarid в сообщении #436230 писал(а):

Вы сейчас со мной не МПХ меряетесь (я надеюсь), так что не нужно тут потрясать одобрением неназванных авторитетов, ОК? И таки да, то, что делаете вы, на нормальную финслерову геометрию не похоже.

Мериться с вами просто невозможно. Вы никаких своих работ не приводите и даже более того, сами признаетесь, что с финслеровыми пространствами только только начали знакомиться.
Авторитеты можно и назвать, только для вас это все равно останется пустым звуком. На счет "похоже/не похоже" - ровно ничем не лучше "впечатлило/не впечатлило". Еще раз предлагаю от эмоциональных оценок перейти к содержательной критике.

Kallikanzarid в сообщении #436230 писал(а):

Потрясно - вы даже не понимаете основ области, которую якобы развиваете. Да что там, вы даже не понимаете основ римановой геометрии, раз такое говорите.

Я вполне отдаю отчет в том, что сказал, а вот вы реагируете опираясь на внешние признаки и свое знание лишь римановой геометрии. Основная часть современных исследователей финслеровой геометрии (та самая, которая занимается "разумной областью исследований") опираются на понятие так называемого финслерова метрического тензора, имеющего как и риманов метрический тензор два индекса, но в отличие от того, зависящего не только от точки, но и от направления в касательном пространстве. Именно этот объект и называется обобщением метрического тензора. Никакого скалярного произведения под ним (в отличие от метрических тензоров римановых и псевдоримановых пространств) не стоИт. Это я и имел ввиду. А в нашем подходе основой является обобщение скалярного произведения, с симметрической билинейной формы от двух векторов на полилинейную симметрическую форму от нескольких векторов. Да, на этом пути также возникает финслеров метрический тензор, но в отличие от предыдущей конструкции он имеет на два, а n индексов и зависит лишь от точки. Попробуйте раскритиковать эти конкретные различия в подходах и не на основе эмоций, а аргументируя..

[Kallikanzarid]

Опираюсь на статью Черна: http://www.ams.org/notices/199609/chern.pdf (via Wiki).

Будем рассматривать многообразие $M$ с финслеровой функцией $F: P(TM) \to \mathbb{R}$.

Цитата:

Я вполне отдаю отчет в том, что сказал, а вот вы реагируете опираясь на внешние признаки и свое знание лишь римановой геометрии.

Пользуйтесь общепринятыми терминами, и таких проблем не будет.

Цитата:

Основная часть современных исследователей финслеровой геометрии (та самая, которая занимается "разумной областью исследований") опираются на понятие так называемого финслерова метрического тензора, имеющего как и риманов метрический тензор два индекса, но в отличие от того, зависящего не только от точки, но и от направления в касательном пространстве. Именно этот объект и называется обобщением метрического тензора. Никакого скалярного произведения под ним (в отличие от метрических тензоров римановых и псевдоримановых пространств) не стоИт.

Почему? Если потребовать невырожденности гессиана финслеровой функции, то, по крайней мере, локально, вдоль каждого нигде не нулевого векторного поля естественным образом можно определить риманову метрику - в итоге получаем какой-никакой инвариант: $(Z, X, Y) \mapsto g_Z(X, Y)$, сохраняющийся при "финслероморфизмах" ($\varphi: M \to N, \ \varphi^*F = G$), где $(M, F)$, $(M, G)$ - финслеровы многообразия).

Цитата:

А в нашем подходе основой является обобщение скалярного произведения, с симметрической билинейной формы от двух векторов на полилинейную симметрическую форму от нескольких векторов. Да, на этом пути также возникает финслеров метрический тензор, но в отличие от предыдущей конструкции он имеет на два, а n индексов и зависит лишь от точки.

Почему вы называете метрическим такой странный тензор? Зачем он нужен?

UPD: главные претензии к вашим исследованиям:
1) Они касаются только небольшого числа категорических теорий.
2) Они далеки от современных задач и методов (таки да, это претензия разумная, а не эмоциональная). Кроме того, вы держитесь в стороне от научного сообщества, одновременно утверждая, что ваши теории имеют большую ценность для науки. Это называется сектантство, и тут любой может обоснованно повести бровью: если эти теории настолько хороши, то почему ими мало кто занимается за пределами Фрязино?
3) Ну и да, вы постоянно ссылаетесь на авторитеты, фактически коллекционируете каждый положительный отзыв о вашей работе. Это тоже настораживает.

Увы и ах, когда сегодня говорят о новой важной дифференциальногеометрической теории, обычно имеют ввиду какую-нибудь новую структуру на многообразии, связанную с (гипер)-кэлеровой геометрией, или новый функтор, позволяющий алгебраически выразить интересный геометрический инвариант, но никак не новый вариант гиперкомплексных чисел и кучу связанных с ними громоздких финслеровых инвариантов.

[Time]

Kallikanzarid в сообщении #436263 писал(а):

Почему? Если потребовать невырожденности гессиана финслеровой функции, то, по крайней мере, локально, вдоль каждого нигде не нулевого векторного поля естественным образом можно определить риманову метрику - в итоге получаем какой-никакой инвариант:

Хотите сказать, что это и есть финслеров аналог обычного скалярного произведения евклидовых и псевдоеквлидовых пространств? В таком случае вам не составит труда определить понятие угла в соответствующем финслеровом пространстве. И что же это такое?
Собственно, вы сами и очертили основной недостаток рассматриваемого подхода к финслеровым пространствам. Он сконструирован так, что бы быть максимально похожим на подход к римановым пространствам. Разве стОит после этого удивляться, что ничего действительно своеобразного в получающейся геометрии не возникает и даже теряется. В частности, оказывается невозможным непротиворечивым образом сформулировать определение финслерова угла. Подробнее об этой проблеме можно прочитать в книге: X.Рунд "Дифференциальная геометрия финслеровых пространств".
В нашем же подходе нет, ни проблем с введением угла, ни принципиальных затруднений с его обобщением на новые специфические метрические характеристики, связанные с фигурами из трех и более векторов. А ведь это не просто ненужные новые инварианты, это путь к выявлению дополнительных непрерывных симметрий (метрически выделенных преобразований), имеющихся в финслеровых пространствах, кроме конформных и изометрических. Или вы считаете, что новые симметрии ничего не значащее и даже мешающее обстоятельство? Кстати, было бы интересно посмотреть, как вы или кто-то другой, отталкиваясь от общепринятого формализма подхода к финслеровым пространства к таким дополнительным симметриям могли бы придти хотя бы в принципе?

Kallikanzarid в сообщении #436263 писал(а):

Почему вы называете метрическим такой странный тензор? Зачем он нужен?

Потому что, именно такой тензор естественным и однозначным образом возникает из принимаемых аксиом обобщения скалярного произведения двух векторов на скалярное полипроизведение нескольких векторов. К тому же он выполняет точно такую же роль, что и обычный риманов (псевдориманов) метрический тензор - позволяет инвариантным и лаконичным образом записывать уравнения. У вас же не возникает вопрос, зачем нужен риманов метрический тензор и тот, который рассматривается в общепринятой финслеровской конструкции. Почему тут возникают вопросы?

Kallikanzarid в сообщении #436263 писал(а):

UPD: главные претензии к вашим исследованиям:
1) Они касаются только небольшого числа категорических теорий.

Вы имеете ввиду очень частный характер рассматриваемых в первую очередь финслеровых метрик? Ну, так в ОТО также только одна четырехмерная метрика рассматривается. Поскольку нас интересует геометрия, которая могла бы оказаться финслеровым расширениемметрики проостранства Минковского, отсюда и ограниченность двумя-тремя метрическими функциями. Сам же по себе предлагаемый формазизм позволяет исследовать очень широкий круг пространств с финслеровыми метрическими функциями, во всяком случае, существенно больше, чем связано с квадратичными метриками.

Kallikanzarid в сообщении #436263 писал(а):

2) Они далеки от современных задач и методов (таки да, это претензия разумная, а не эмоциональная).

То есть, хотите сказать, что разумно ходить проторенными тропами? Даже если есть потребность найти нечто принципиально новое? Ну, просто замечательное не эмоциональное утверждение..

Цитата:

Кроме того, вы держитесь в стороне от научного сообщества, одновременно утверждая, что ваши теории имеют большую ценность для науки. Это называется сектантство, и тут любой может обоснованно повести бровью: если эти теории настолько хороши, то почему ими мало кто занимается за пределами Фрязино?

Какое сектанство, если все конференции и семинары открытые. На конференциях, кстати, за семь лет побывало несколько сотен физиков и математиков из почти сорока стран. На счет относительной малости занимающихся - так ведь вообще специалистов по финслеровой геометрии не густо. Всего-то порядка сотни человек на весь мир. Так что, факт сбора во Фрязино более десяти процентов от общего числа это скорее много, чем мало.
Кроме того, с этого года наша конференция уже де-факто перемещается в открытый мир:
http://cs.unitbv.ro/fert2011/
так что, обвинения в региональной замкнутости явно надуманные..

Kallikanzarid в сообщении #436263 писал(а):

3) Ну и да, вы постоянно ссылаетесь на авторитеты, фактически коллекционируете каждый положительный отзыв о вашей работе. Это тоже настораживает.

Согласен, правильным было бы народу самому формировать свое мнение, но поскольку умеющих думать самостоятельно причем в малознакомой области очень не много, для остальных и коллекционируются отзывы авторитетов. И что же в этом плохого? К самим положительным отзывам претензии есть? Какие конкретно?

Kallikanzarid в сообщении #436263 писал(а):

Увы и ах, когда сегодня говорят о новой важной дифференциальногеометрической теории, обычно имеют ввиду какую-нибудь новую структуру на многообразии, связанную с (гипер)-кэлеровой геометрией, или новый функтор, позволяющий алгебраически выразить интересный геометрический инвариант, но никак не новый вариант гиперкомплексных чисел и кучу связанных с ними громоздких финслеровых инвариантов.

Снова чувствуется мощное желание ходить проторенными тропами. Кто ж вам (им) запрещает? А как быть тем, кому интересно пройтись первым по новой тропинке?

[Kallikanzarid]

Time в сообщении #436551 писал(а):

Хотите сказать, что это и есть финслеров аналог обычного скалярного произведения евклидовых и псевдоеквлидовых пространств? В таком случае вам не составит труда определить понятие угла в соответствующем финслеровом пространстве. И что же это такое?

$$\cos \widehat{(Z, X, Y)} := g_Z(X, Y)$$

Сойдет? Честно говоря, я не понимаю, зачем вам эти углы, с ними уже никто не работает, т.к. свойства классических евклидовых углов прекрасно описываются и обобщаются структурой гильбертова пространства, причем многие хорошие свойства и инварианты дают основание предполагать, что метрика более фундаментальна, отсюда и успех римановой геометрии.

Цитата:

Собственно, вы сами и очертили основной недостаток рассматриваемого подхода к финслеровым пространствам. Он сконструирован так, что бы быть максимально похожим на подход к римановым пространствам.

Это логично, почему это недостаток? Нелинейные обобщения какой-либо структуры всегда изучаются на основе того, что известно о линейном случае. К тому же, Черн подчеркнул, что этот подход для финслеровых многообразий плодотворен и показывает их качественную схожесть, даже глобально.

Цитата:

Разве стОит после этого удивляться, что ничего действительно своеобразного в получающейся геометрии не возникает и даже теряется. В частности, оказывается невозможным непротиворечивым образом сформулировать определение финслерова угла.

Чем определение выше вам не нравится, почему именно ваше определение - самое-самое? Зачем вообще углы?

Цитата:

В нашем же подходе нет, ни проблем с введением угла, ни принципиальных затруднений с его обобщением на новые специфические метрические характеристики, связанные с фигурами из трех и более векторов.

Вы работаете с финслеровой геометрии многообразий с гиперкомплексной структурой, так что неудивительно, что вы получаете новые симметрии. Кстати, если бы вы исследовали в общем гиперкомплексные структуры (или структуры комплексного произведения), совместимые с финслеровой структурой, вопросов бы к вам не было - это довольно узкое поле, но вменяемое. Ваши непомерные амбиции (особенно в физических приложениях) и использование методов и понятий, отмиравших уже в XIX веке, вам же мешают.

Цитата:

А ведь это не просто ненужные новые инварианты, это путь к выявлению дополнительных непрерывных симметрий (метрически выделенных преобразований), имеющихся в финслеровых пространствах, кроме конформных и изометрических. Или вы считаете, что новые симметрии ничего не значащее и даже мешающее обстоятельство?

Я считаю его иррелевантным: с любым инвариантом можно связать сохраняющую его подгруппу диффеоморфизмов, само по себе ее существование ничего не дает.

Цитата:

Кстати, было бы интересно посмотреть, как вы или кто-то другой, отталкиваясь от общепринятого формализма подхода к финслеровым пространства к таким дополнительным симметриям могли бы придти хотя бы в принципе?

К именно таким дополнительным симметриям - нет. Но вопрос - в том, почему именно такие дополнительные симметрии важны, и я пока не вижу, почему.

Kallikanzarid в сообщении #436263 писал(а):

Потому что, именно такой тензор естественным и однозначным образом возникает из принимаемых аксиом обобщения скалярного произведения двух векторов на скалярное полипроизведение нескольких векторов.

Я тоже могу придумать аксиомы, какова мотивация ваших?

Цитата:

К тому же он выполняет точно такую же роль, что и обычный риманов (псевдориманов) метрический тензор - позволяет инвариантным и лаконичным образом записывать уравнения.

Это издевательское упрощение, к тому же метрика важна не только в ОТО.

Цитата:

У вас же не возникает вопрос, зачем нужен риманов метрический тензор и тот, который рассматривается в общепринятой финслеровской конструкции. Почему тут возникают вопросы?

Потому что вы предлагаете что-то новое, себя еще не зарекомендовавшее.

Цитата:

Вы имеете ввиду очень частный характер рассматриваемых в первую очередь финслеровых метрик? Ну, так в ОТО также только одна четырехмерная метрика рассматривается.

ОТО - это не математическая теория, а математическая модель в физике. К этим двум вещам выдвигают разные требования.

Цитата:

Сам же по себе предлагаемый формазизм позволяет исследовать очень широкий круг пространств с финслеровыми метрическими функциями, во всяком случае, существенно больше, чем связано с квадратичными метриками.

Он также очень сложен из запутан. Ну, и бесконечномера с ним не видать :)

Цитата:

То есть, хотите сказать, что разумно ходить проторенными тропами?

Да, разве это не очевидно?

Цитата:

Даже если есть потребность найти нечто принципиально новое?

А эта потребность разумна или эмоциональна, кстати?

Цитата:

так что, обвинения в региональной замкнутости явно надуманные..

Ладно, я не настаиваю.

Kallikanzarid в сообщении #436263 писал(а):

К самим положительным отзывам претензии есть? Какие конкретно?

Я их даже не читал.

Kallikanzarid в сообщении #436263 писал(а):

Снова чувствуется мощное желание ходить проторенными тропами. Кто ж вам (им) запрещает? А как быть тем, кому интересно пройтись первым по новой тропинке?

Современная парадигма позволяет изучать сложные вещи (объекты дифференциальной и алгебраической геометрий), сводя вопросы о них к более простым. Вы же идете противоположным путем - стремитесь построить теорию, не считаясь с тем, насколько громоздки и неудобны ваши построения. Это разумно?

[Руст]

Цитата:

$$\cos \widehat{(Z, X, Y)} := g_Z(X, Y)$$

Сойдет? Честно говоря, я не понимаю, зачем вам эти углы, с ними уже никто не работает, т.к. свойства классических евклидовых углов прекрасно описываются и обобщаются структурой гильбертова пространства, причем многие хорошие свойства и инварианты дают основание предполагать, что метрика более фундаментальна, отсюда и успех римановой геометрии.

Не сойдет. Угол должен определяться как функция от двух векторов или между двумя векторами. В касательном расслоении Финслерова пространства не существует гильбертовой структуры, имеется только квазибанахова структура, мы можем измерить длины касательных векторов. При этом умножение на число х меняет длину в |x| раз и верна или аксиома треугольника

$$|x+y|\le |x|+|y|$$

(в этом случае 0 единственный вектор с нулевой нормой) или обратное неравенство.

$$|x+y|\ge |x|+|y|$$

(Минковского типа и 0 не единственный вектор с нулевой нормой)
На самом деле Риманова метрика слишком ограничена с точки зрения свободы. Финслерово обобщение создает бесконечномерную свободу (как функцию от направления - физический от импульса) в каждой своей точке. Это позволяет строит теорию объединяющую квантовую механику (с бесконечномерной свободой как волновой функции вместо материальной точки) с ОТО (поля которой зависят от положения точки).

Цитата:

Это логично, почему это недостаток? Нелинейные обобщения какой-либо структуры всегда изучаются на основе того, что известно о линейном случае. К тому же, Черн подчеркнул, что этот подход для финслеровых многообразий плодотворен и показывает их качественную схожесть, даже глобально.

Аналогия не совсем подходит. Нам нужна бесконечномерная свобода в точке, которого нет в Римановой геометрии.

Цитата:

Вы работаете с финслеровой геометрии многообразий с гиперкомплексной структурой, так что неудивительно, что вы получаете новые симметрии. Кстати, если бы вы исследовали в общем гиперкомплексные структуры (или структуры комплексного произведения), совместимые с финслеровой структурой, вопросов бы к вам не было - это довольно узкое поле, но вменяемое. Ваши непомерные амбиции (особенно в физических приложениях) и использование методов и понятий, отмиравших уже в XIX веке, вам же мешают.
Гиперкомплексная структура на касательном пространстве существенно упрощает многие вещи. Например позволяет возможность определить те же углы. В этом случае индикатриса является группой Ли ( не обязательно связной). Умножение на вектора единичной длины являются метрическими изоморфизмами для финслеровой структуры определяемой нормой числа. Соответственно нормировав вектора до единичной длины определение угла между векторами $a,b$ сводится определению угла межу 1 и $c=a^{-1}b$. Здесь я не ограничиваюсь коммутативностью, так как угол между $1,x$ равен углу между $1,x^{-1}$. с можно нормировать до единичной длины и если он в той же компоненте связности, что и 1 то угол можно определить как предел $\lim_{n\to \infty}nAngle(1,c^{1/n})$ используя аддитивность относительно изоморфизмов. А локально вблизи одного направления все Финслеровы пространства аппроксимируются или Евклидовой или Минковской метрикой.

Цитата:

Я считаю его иррелевантным: с любым инвариантом можно связать сохраняющую его подгруппу диффеоморфизмов, само по себе ее существование ничего не дает.

С точки зрения физики любые инварианты имеют некоторое физическое осмысление как и геометрическое.

Цитата:

К именно таким дополнительным симметриям - нет. Но вопрос - в том, почему именно такие дополнительные симметрии важны, и я пока не вижу, почему.

Классическую физику, классические поля (без квантовой) описывает одинаково множество эквивалентных финслеровых геометрий. Однако инварианты для этих разных геометрий должны быть одинаковы. Уже это обстоятельство заставляет нам искать разные инварианты и най ти физические приложения к ним.

Цитата:

Я тоже могу придумать аксиомы, какова мотивация ваших?

Мотивация скалярного произведения от n аргументов в том, что они естественным образом возникают по аналогии из теории чисел как произведение $\prod_{\sigma \in Aut}\sigma(x)$ , здесь $Aut$ группа автоморфизмов (Группа Галуа) гиперкомплексных чисел. Есть предположение, что среди эквивалентных финслеровых геометрий описывающих классические поля есть такое (возможно единственное), на касательном пространстве которой можно ввести структуру гиперкомплексных чисел. Здесь я не согласен с Time, что эта обязательно $H_4$ или обязательно с коммутативным умножением. Пока нет особого смысла ограничиваться именно с этим. Однако для согласования с СТО должны быть делители нуля коразмерности 1. В $C+C$ = коразмерность 2 и не годится уже из-за отсутствия неравенства антитреугольника (нет преобразования Лежандра).

Цитата:

Современная парадигма позволяет изучать сложные вещи (объекты дифференциальной и алгебраической геометрий), сводя вопросы о них к более простым. Вы же идете противоположным путем - стремитесь построить теорию, не считаясь с тем, насколько громоздки и неудобны ваши построения. Это разумно?

На самом деле Time как раз идет с простого к сложному. Это даже в корне противоположно математикам или бурбакизму. Когда стараются с самого начала дать максимально общие определения. В этом смысле многие (в том числе я) занимают положение ближе к бурбакизму, чем к Time.
А так приезжайте во Фрязино в эту субботу. Поговорим и о математике, а то там нет математиков.

[Time]

Kallikanzarid в сообщении #436594 писал(а):

Сойдет? Честно говоря, я не понимаю, зачем вам эти углы, с ними уже никто не работает, т.к. свойства классических евклидовых углов прекрасно описываются и обобщаются структурой гильбертова пространства, причем многие хорошие свойства и инварианты дают основание предполагать, что метрика более фундаментальна, отсюда и успех римановой геометрии.

Вообще-то, длины и углы являются базовыми понятиями геометрии. Именно оба понятия, а не одни только длины (интервалы). Об этом прямо говорится в "Современной геометрии" Дубровина и Ко и я с этим целиком согласен. Если вам легче жить без углов, никто ж ведь не возражает. А мне нужны не только углы, но и их естественные обобщения на финслеровы полиуглы. В качестве конкретного примера полезности понятия угла для физики можно привести известную связь гиперболических углов в пространстве Минковского с безразмерной относительной скоростью. Похожие связи я ожидаю и в случае углов с полиуглами в финслеровом пространстве, которым можно заменить пространство Минковского.

Kallikanzarid в сообщении #436594 писал(а):

Это логично, почему это недостаток? Нелинейные обобщения какой-либо структуры всегда изучаются на основе того, что известно о линейном случае. К тому же, Черн подчеркнул, что этот подход для финслеровых многообразий плодотворен и показывает их качественную схожесть, даже глобально.

Вот именно, что сперва логично изучить более простые линейные случаи пространств, но на общепринятом пути изучения финслеровых геометрий при помощи этого самого двухиндексного метрического тензора можно изучать лишь их нелинейные обобщения. Попробуйте найти в литературе по финслеровой геометрии разбор хоть одного линейного финслерова пространства, я буду сильно удивлен, если такой найдется. И это не случайно, дело в том, что если вы попытаетесь "выпрямить" кривое финслерово пространство построенное на базе двухиндексного тензора, то получите либо евклидово, либо псевдоевклидово пространство, но никак не линейное финслерово. А меня с самого начала интересовали именно линейные финслеровы пространства связанные с гиперкомплексными алгебрами, так что, по неволе пришлось изобретать свой доморощенный подход, не совпадающий с традиционным.

Kallikanzarid в сообщении #436594 писал(а):

Чем определение выше вам не нравится, почему именно ваше определение - самое-самое? Зачем вообще углы?

У вас не финслеров угол, а самый обычный евклидов или псевдоевклидов угол в касательном пространстве. А я говорил про естественное финслерово обобщение угла, которое должно быть связано именно с финслеровой длиной некоторой экстремали на единичной сфере (индикатрисе). Мой подход именно к такому варианту обобщения угла и приводит.

Kallikanzarid в сообщении #436594 писал(а):

Вы работаете с финслеровой геометрии многообразий с гиперкомплексной структурой, так что неудивительно, что вы получаете новые симметрии. Кстати, если бы вы исследовали в общем гиперкомплексные структуры (или структуры комплексного произведения), совместимые с финслеровой структурой, вопросов бы к вам не было - это довольно узкое поле, но вменяемое. Ваши непомерные амбиции (особенно в физических приложениях) и использование методов и понятий, отмиравших уже в XIX веке, вам же мешают.

Не определив понятие угла и его обобщения на полиуглы, новые симметрии, кроме связанных с изометриями, получить весьма затруднительно, во всяком случае, метрические. Именно эта проблема проявляется при изучении финслеровых пространств на основе двухиндексного тензора (без возможности корректно определить угол, а тем более полиуглы). На счет отмершего в ХIX веке понятия угла, особенно для финслеровых геометрий, я бы не торопился с вердиктами. Во всяком случае уважаемые вами финслеристы классической школы потратили на определение этих самых углов не мало времени и сил, так ничего непротиворечивого и не придумав. Еще раз предлагаю посмотреть параграф связанный с понятием угла в книге Рунда "Дифференциальная геометрия финслеровых пространств". И только из-за того, что там ничего толкового не получилось, народу поневоле приходится пользоваться лишь финслеровскими обобщениями длин.

Kallikanzarid в сообщении #436594 писал(а):

Я считаю его иррелевантным: с любым инвариантом можно связать сохраняющую его подгруппу диффеоморфизмов, само по себе ее существование ничего не дает.

Углы и полиуглы не "любые" инварианты, а связанные с простейшими и потому фундаментальными геометрическими фигурами. Углы, например, связаны с экстремалями на сферах. Если инварианты вами выбраны "от балды" - такими же будут и связанные с ними симметрии. Много вы видели полезных инвариантов и симметрий на той же евклидовой плоскости, которые могли бы сравниться по своим последствиям с углами и определяемыми ими конформными преобразованиями? Считайте, что именно обобщение полезных качеств углов и конформных преобразований евклидовой и комплексной плоскостей мы и ищем.

Kallikanzarid в сообщении #436594 писал(а):

К именно таким дополнительным симметриям - нет. Но вопрос - в том, почему именно такие дополнительные симметрии важны, и я пока не вижу, почему.

Могу привести еще один аргумент. Множество конформных симметрий комплексной плоскости позволяет осуществлять переходы между криволинейными ортогональными системами координат. Их обобщения на финслеровы пространства позволяют аналогичные переходы осуществлять между финслеровоортогональными криволинейными системами координат. Преобразования сохраняющие полиуглы, по идее, должны обладать аналогичным качеством, правда уже такие координаты будут не ортогональными, а более общего вида.

Kallikanzarid в сообщении #436594 писал(а):

Я тоже могу придумать аксиомы, какова мотивация ваших?

Ну что ж, попробуйте придумать. Возьмите конкретную гиперкомплексную алгебру и предложите для финслерова пространства с нею связанного непротиворечивую систему аксиом, что бы это пространство задавалось без всякой алгебры, только на основе вами предложенных базовых положений. Абстрактно рассуждать это одно, а взять конкретный случай - совсем другое. Ждать предложений?

Kallikanzarid в сообщении #436594 писал(а):

ОТО - это не математическая теория, а математическая модель в физике. К этим двум вещам выдвигают разные требования.

Меня математическая сторона волнует в гораздо меньшей степени, чем физические приложения.

Kallikanzarid в сообщении #436594 писал(а):

Он также очень сложен из запутан. Ну, и бесконечномера с ним не видать :)

Гиперкомплексные числа очень простые структуры. Сложна и запутана процедура поиска тех простых объектов, что в них естественным образом содержатся. В частности, те самые финслеровы углы, что вам представляются столь сложными и запутанными, в конце концов оказываются ни чем иным, как аргументами экспоненциальной формы представления, являющейся обобщением известной формулы Эйлера. Куда уж проще..

Kallikanzarid в сообщении #436594 писал(а):

Современная парадигма позволяет изучать сложные вещи (объекты дифференциальной и алгебраической геометрий), сводя вопросы о них к более простым. Вы же идете противоположным путем - стремитесь построить теорию, не считаясь с тем, насколько громоздки и неудобны ваши построения. Это разумно?

Часто, для того, что бы получить простой и кажущийся потом очевидным результат, приходится покружить, в результате чего, и создается иллюзия сложности. На самом деле это просто следствие плутаний связанных с движением по непроторенной дорожке. Если один раз путь будет пройден до конца, все неровности рано или поздно будут отшлифованы, а запутанные участки спрямятся.

[Time]

Руст в сообщении #436759 писал(а):

На самом деле Риманова метрика слишком ограничена с точки зрения свободы. Финслерово обобщение создает бесконечномерную свободу (как функцию от направления - физический от импульса) в каждой своей точке.

Понятие направления тесно связано с понятием угла. Однако предоставляемой некоторыми финслеровыми пространствами бесконечномерной свободы конформных преобразований дело не ограничивается. Появление тринглов и пр. полиуглов как обобщений понятий длины и угла на меры фигур связанных с тремя и более векторами дает примеры дополнительных бесконечномерных групп симметрий, инвариантами которых эти самые полиуглы и являются. Это уже не свобода связанная с направлениями, а с более сложным и специфическим финслеровым понятием.

Руст в сообщении #436759 писал(а):

А локально вблизи одного направления все Финслеровы пространства аппроксимируются или Евклидовой или Минковской метрикой.

Это утверждение верно лишь при подходе к финслеровым пространствам на основе формализма двухиндексного финслерова метрического тензора. Попробуйте аппроксимировать евклидовой или псевдоевклидовой метрикой ЛИНЕЙНОЕ пространство с метрикой Бервальда-Моора. Оно же ведь плоское и само себе касательное. Где Вы тут видите аппроксимацию квадратичными метриками?

Руст в сообщении #436759 писал(а):

Классическую физику, классические поля (без квантовой) описывает одинаково множество эквивалентных финслеровых геометрий. Однако инварианты для этих разных геометрий должны быть одинаковы.

Тут Вы противоречите известной концепции Клейна, выраженной в его знаменитой "Эрлангенской программе". Согласно ей одинаковый набор инвариантов и преобразований их сохраняющих приводят к ОДИНАКОВЫМ геометриям. Если Вы с этим не согласны, то приведите пожалуйста хотя бы один, но конкретный и максимально простой пример обратного. Ну, в частности такой трех- или четырехмерной финслеровой геометрии, которая имеет те же инварианты и симметрии, что $H_3$ или $H_4$, но им неизоморфна.

Руст в сообщении #436759 писал(а):

Есть предположение, что среди эквивалентных финслеровых геометрий описывающих классические поля есть такое (возможно единственное), на касательном пространстве которой можно ввести структуру гиперкомплексных чисел. Здесь я не согласен с Time, что эта обязательно или обязательно с коммутативным умножением.

Я отталкиваюсь не столько от геометрии, сколько от фундаментальности понятия числа. Примеры всех без исключения чисел, входящих в известную их классификацию (натуральные, целые, рациональные, действительные, комплексные) обладают именно коммутативным умножением. Некоммутативные кватернионы, бикватернионы, октавы и пр. общепринятым мнением к даннойклассификации прямого отношения не имеют. Я исхожу из того, что $H_2, H_3, H_4, C+H, C+H_2, C+C$ и т.д. имеют полное право войти в классификацию чисел, причем отчасти это связано с коммутативностью и ассоциативностью их произведений. Конечно, кому-то могут нравиться геометрии связанные не только с коммутативно-ассоциативными гиперчислами и на это у них могут быть свои основания, но мне в первую очередь интересны геометрии связанные с числами имеющими шанс войти в фундаментальную классификацию. Что тут нелогичного?

Руст в сообщении #436759 писал(а):

На самом деле Time как раз идет с простого к сложному. Это даже в корне противоположно математикам или бурбакизму. Когда стараются с самого начала дать максимально общие определения. В этом смысле многие (в том числе я) занимают положение ближе к бурбакизму, чем к Time.

Разберись в простом.. (c)

Цитата:

А так приезжайте во Фрязино в эту субботу. Поговорим и о математике, а то там нет математиков.

Математики там также бывают и Вы это прекрасно знаете. Те же румыны из Бухарестского и Брашовского университетов, из Белоруссии, из Новосибирска, из Самары и пр. Были и Шен с Бао (соавторы того самого Черна, на работы которого по финслеровым пространствам ссылается Википедия). Другое дело, что редко, а семинары у нас ежемесячные. Да, в эту субботу математиков кроме Вас не ожидается, так что, подтверждаю для Kallikanzarid приглашение (равно как и для других желающих пообщаться вживую). Информация о запланированных темах этого семинара и о способе присоединиться имеется тут: http://polynumbers.ru/

[Руст]

Вообще то у меня не было желания с вами спорить. Все равно я не сменю свое мнение, да и вы не собираетесь это делать.

Цитата:

Понятие направления тесно связано с понятием угла. Однако предоставляемой некоторыми финслеровыми пространствами бесконечномерной свободы конформных преобразований дело не ограничивается.

Речь шла об общих финслеровых пространствах, где углы не определены (и не могут быть нормальным образом определены).

Цитата:

Появление тринглов и пр. полиуглов как обобщений понятий длины и угла на меры фигур связанных с тремя и более векторами дает примеры дополнительных бесконечномерных групп симметрий, инвариантами которых эти самые полиуглы и являются. Это уже не свобода связанная с направлениями, а с более сложным и специфическим финслеровым понятием.

Тем более не определены тринглы и прочие.

Цитата:

Это утверждение верно лишь при подходе к финслеровым пространствам на основе формализма двухиндексного финслерова метрического тензора. Попробуйте аппроксимировать евклидовой или псевдоевклидовой метрикой ЛИНЕЙНОЕ пространство с метрикой Бервальда-Моора. Оно же ведь плоское и само себе касательное. Где Вы тут видите аппроксимацию квадратичными метриками?[\quote]
Опять не читаете, что написано мною. Вблизи одного направления. Там с точностью до второго порядка геометрия аппроксимируется метрикой Евклида или Минковского.

Цитата:

Тут Вы противоречите известной концепции Клейна, выраженной в его знаменитой "Эрлангенской программе". Согласно ей одинаковый набор инвариантов и преобразований их сохраняющих приводят к ОДИНАКОВЫМ геометриям. Если Вы с этим не согласны, то приведите пожалуйста хотя бы один, но конкретный и максимально простой пример обратного. Ну, в частности такой трех- или четырехмерной финслеровой геометрии, которая имеет те же инварианты и симметрии, что $H_3$ или $H_4$, но им неизоморфна.
[\quote] Концепция Клейна не распространяется на Финслерову геометрию. Дело в том, что инварианты в этом случае выступают как функционалы от p (направления или физический - импульса). В римановой геометрии локально все изотропно и функционал инвариант является функцией от инвариантов тензоров. В общей финслеровой геометрии обычно понимаемого (без функционалов ) вообще может не быть. По поводу множества эквивалентных геометрий одинаково описывающих физику я впервые ознакомился в книге Гарасько. Я только немного развил, что это относится к классическим понятиям поля, где имеется зависимость полей только от точек, но не от направления (импульса)нет. А в квантовой это может быть не верно.

Цитата:

Конечно, кому-то могут нравиться геометрии связанные не только с коммутативно-ассоциативными гиперчислами и на это у них могут быть свои основания, но мне в первую очередь интересны геометрии связанные с числами имеющими шанс войти в фундаментальную классификацию. Что тут нелогичного?

Я ничего не говорил о логичности или не логичности подхода. Просто речь шла о некоторой ограниченности рассмотрения только коммутативных алгебр.

Цитата:

Разберись в простом.. (c)

Понятие простоты относительное. Я до сих пор считаю, что суть математического понятия лучше всего раскрывается, если оно определено на языке теории категорий.

Цитата:

Математики там также бывают и Вы это прекрасно знаете. Те же румыны из Бухарестского и Брашовского университетов, из Белоруссии, из Новосибирска, из Самары и пр. Были и Шен с Бао (соавторы того самого Черна, на работы которого по финслеровым пространствам ссылается Википедия). Другое дело, что редко, а семинары у нас ежемесячные.

А я как раз приглашал на семинар и имел в виду отсутствие математиков на семинаре.