Задача из сборника ЕГЭ-задач

[spaits]

nnosipov в сообщении #436166 писал(а):

Это тоже где-то опубликовано? Или было на реальном ЕГЭ? Действительно, в таком виде эту задачу школьнику не решить, поскольку ответ нельзя выписать (жуткие кубические радикалы, которые лезут из формулы Кардано).

Это из реального ЕГЭ 2010 года.
Формулы Кардано, между прочим, нет в программе средней школы.

[neo66]

nnosipov в сообщении #436166 писал(а):

Действительно, в таком виде эту задачу школьнику не решить, поскольку ответ нельзя выписать (жуткие кубические радикалы, которые лезут из формулы Кардано).

Ответ выписать можно. Надо посчитать дискриминант и определить, когда он отрицательный. Получаем ответ: $p>0$ и $p<-0.77686$ (это приближенно). А точный ответ такой (если правильно ввел данные):http://www.wolframalpha.com/input/?i=-4%282p%29%5E3%282p-3%29+%2B+%282p%29%5E2%28p-6%29%5E2+%2B4p%28p-6%29%5E3+-+18p%282p%29%28p-6%29%282p-3%29+-27p%5E2%282p-3%29%5E2+%3C0

[spaits]

neo66 в сообщении #436238 писал(а):

Ответ выписать можно. Надо посчитать дискриминант и определить, когда он отрицательный. Получаем ответ: и (это приближенно).

Ученик, который сдавал экзамен, эту задачу не решил, но все равно набрал 83 балла и получил по математике оценку 5. Потом, уже дома нашел приближенные значения $p$ с тем же ответом, что у Вас, однако точное значение определить не сумел.

[MrDindows]

А на 100 баллов, кроме призёров Всеросса, кто-то ЕГЭ сдаёт вообще?)

[nnosipov]

neo66 в сообщении #436238 писал(а):

nnosipov в сообщении #436166 писал(а):

Действительно, в таком виде эту задачу школьнику не решить, поскольку ответ нельзя выписать (жуткие кубические радикалы, которые лезут из формулы Кардано).

Ответ выписать можно. Надо посчитать дискриминант и определить, когда он отрицательный. Получаем ответ: $p>0$ и $p<-0.77686$ (это приближенно). А точный ответ такой (если правильно ввел данные):http://www.wolframalpha.com/input/?i=-4%282p%29%5E3%282p-3%29+%2B+%282p%29%5E2%28p-6%29%5E2+%2B4p%28p-6%29%5E3+-+18p%282p%29%28p-6%29%282p-3%29+-27p%5E2%282p-3%29%5E2+%3C0

Ответ, кстати, неправильный.

-- Пн апр 18, 2011 19:45:34 --

Возвратимся к уравнению $n!+3n=k^2$. Судя по отсутствию реплик на эту тему, все согласились с тем, что решать его --- дохлая задача. Весьма вероятно, авторы имели в виду легко решаемое уравнение $n!-3n=k^2$. Но вот что умиляет --- в ответах всё-таки указаны решения первого уравнения.
На всякий случай привожу выходные данные этой чудо-книжки: Власова А.П., Евсеева Н.В., Латанова Н.И. и др. Математика: 50 типовых вариантов экзаменационных работ для подготовки к ЕГЭ. М.: АСТ: Астрель, 2010. Читая эту книжку, будьте бдительны. (Не представляю, как обычный школьный учитель сможет распознать, где есть опечатка в условии задачи C6, а где нет.)

[MrDindows]

Значит опечаток нету. Значит надо искать решение)
Да, то что я писал, - в целом не верно. Но мб как-то развить эту идею. Тоесть доказать что нет решений при больших эн не через сравнения остатков, а через неравенства?

[nnosipov]

MrDindows в сообщении #436322 писал(а):

Значит опечаток нету. Значит надо искать решение)
Да, то что я писал, - в целом не верно. Но мб как-то развить эту идею. Тоесть доказать что нет решений при больших эн не через сравнения остатков, а через неравенства?

Ну что ж, развивайте, пробуйте, почему бы и нет, может, и проблему Брокара заодно решите. Но имейте в виду, что в этой книге есть и другие "странные" задачи С6, и невольно возникают сомнения в компетентности авторов. Проще говоря, эта книга вполне тянет на типичную халтуру.

[nnosipov]

spaits в сообщении #436112 писал(а):

А это тянет? Задача ЕГЭ прошлого года.

Найдите все значения $p$, при которых уравнение $(2p-3)x^3-(6-p)x^2+2px=p$ имеет ровно один корень.

Раз уж заговорили об этом, продолжу. Здесь, конечно же, тоже опечатка в условии, поскольку ответ, содержащий неупрощаемые кубические радикалы типа $\sqrt[3]{1+\sqrt{2}}$, нельзя признать лежащим в рамках школьной программы, если речь идёт о решении кубических уравнений общего вида. Поэтому задачи, приводящие к такому ответу в случае уравнения, указанного spaits, не могут быть в ЕГЭ. С другой стороны, нетрудно привести пример схожего по типу уравнения, а именно,

$$ (1+4q)x^3+(-q+1)x^2-12qx=8q, \eqno(*) $$

для которого вопрос "найти все значения параметра $q$, при которых это уравнение имеет единственное решение" может быть решён без каких бы то ни было формул Кардано и дискриминантов кубических уравнений (это также не входит в школьную программу), но средствами, допущенными школьной программой. Ответ для уравнения $(*)$ таков: $q>2/17$, $-1/4<q<0$ и $q<-1/4$.

[spaits]

nnosipov в сообщении #436406 писал(а):

Поэтому задачи, приводящие к такому ответу в случае уравнения, указанного spaits, не могут быть в ЕГЭ.

Ученик, решавший ту задачу на ЕГЭ, после экзамена написал уравнение по памяти, возможно, что-то перепутал. Единственное объяснение.
Но в 2010 году такая задача была.

[nnosipov]

Ну, а что, и это очень может быть. Этот сорт уравнений вполне можно исследовать чисто школьными методами --- надо лишь коэффициенты уравнений аккуратно подбирать.

[JulianaFostiychuk]

Помогите ,пожалуйста, решить задачку С6!
Найти многочлен, корнем которого является $$ не знаю как формулу написать, в общем продиктую так. сумма корней шестой степени из 5 - 2 корня из 6 и 5 + 2 корня из 6.
голову уже третий день ломаю
заранее благодарна

-- Вс апр 24, 2011 23:11:34 --

MrDindows в сообщении #436265 писал(а):

А на 100 баллов, кроме призёров Всеросса, кто-то ЕГЭ сдаёт вообще?)

интересный вопрос)
вообще возможно)
потому что и в С6 есть решаемое) С5 тоже сложное, но решаемо. остальное- чистое знание теории
в С6 иногда бывают диофантовы уравнения, а они проще, наверное, чем С1))
просто нужно знать про делители свободного числа.
нас этому в 7-ом классе научили))

[neo66]

JulianaFostiychuk в сообщении #438382 писал(а):

Найти многочлен, корнем которого является не знаю как формулу написать, в общем продиктую так. сумма корней шестой степени из 5 - 2 корня из 6 и 5 + 2 корня из 6.

Так? $\sqrt[6]{5}-2\sqrt[6]{6}$ и $5+2\sqrt[2]{6}$

[nnosipov]

JulianaFostiychuk в сообщении #438382 писал(а):

в С6 иногда бывают диофантовы уравнения, а они проще, наверное, чем С1))
просто нужно знать про делители свободного числа.
нас этому в 7-ом классе научили))

Что тут скажешь? Вот Вам диофантово уравнение $x^4-7y^4=16$ (оно, кстати, из той чудо-книжки, которую я выше цитировал). Попробуйте его решить, опираясь на знания про "делители свободного числа". (Кстати, это уравнение решить можно, однако решение будет не простым. На мой взгляд, явный перебор, задача не для ЕГЭ.)

[alex1910]

nnosipov в сообщении #436406 писал(а):

spaits в сообщении #436112 писал(а):

А это тянет? Задача ЕГЭ прошлого года.

Найдите все значения $p$, при которых уравнение $(2p-3)x^3-(6-p)x^2+2px=p$ имеет ровно один корень.

Раз уж заговорили об этом, продолжу. Здесь, конечно же, тоже опечатка в условии, поскольку ответ, содержащий неупрощаемые кубические радикалы типа $\sqrt[3]{1+\sqrt{2}}$, нельзя признать лежащим в рамках школьной программы, если речь идёт о решении кубических уравнений общего вида. Поэтому задачи, приводящие к такому ответу в случае уравнения, указанного spaits, не могут быть в ЕГЭ. С другой стороны, нетрудно привести пример схожего по типу уравнения, а именно,

$$ (1+4q)x^3+(-q+1)x^2-12qx=8q, \eqno(*) $$

для которого вопрос "найти все значения параметра $q$, при которых это уравнение имеет единственное решение" может быть решён без каких бы то ни было формул Кардано и дискриминантов кубических уравнений (это также не входит в школьную программу), но средствами, допущенными школьной программой. Ответ для уравнения $(*)$ таков: $q>2/17$, $-1/4<q<0$ и $q<-1/4$.

Скорее всего, условие было иное, например, когда уравнение имеет два корня.
Или коэфициенты были иными, или еще что. Смысла гадать нет, пока не предъявлен достоверный первоисточник.

А так - не верю, что в ЕГЭ (вариант экзамена) могла бы пролезть трудно-решаемая задача, ибо чиновники не заинтересованы в "падении успеваемости".

[JulianaFostiychuk]

neo66 в сообщении #438434 писал(а):

JulianaFostiychuk в сообщении #438382 писал(а):

Найти многочлен, корнем которого является не знаю как формулу написать, в общем продиктую так. сумма корней шестой степени из 5 - 2 корня из 6 и 5 + 2 корня из 6.

Так?

не так( корень шестой степени
сейчас попробую.

$\sqrt[6]{5-2\sqrt[2]{6}}$ + $\sqrt[6]{5+2\sqrt[2]{6}}$

воот)

-- Пн апр 25, 2011 14:42:25 --

nnosipov в сообщении #438448 писал(а):

JulianaFostiychuk в сообщении #438382 писал(а):

в С6 иногда бывают диофантовы уравнения, а они проще, наверное, чем С1))
просто нужно знать про делители свободного числа.
нас этому в 7-ом классе научили))

Что тут скажешь? Вот Вам диофантово уравнение $x^4-7y^4=16$ (оно, кстати, из той чудо-книжки, которую я выше цитировал). Попробуйте его решить, опираясь на знания про "делители свободного числа". (Кстати, это уравнение решить можно, однако решение будет не простым. На мой взгляд, явный перебор, задача не для ЕГЭ.)

попробую на досуге. не знаю, они разной сложности бывают, наверное О_О
ну вот мы ррешали такое и оно несложное:
$x^2=y^2+6y+21$