Минимум расстояния до окружности

[Macavity]

maxal писал(а):

Мы тут аналитическими методами увлеклись, а может эта задача на построение?

Пусть $O$ - это центр окружности, $R$ - радиус окружности. Тогда легко видеть, что треугольники $\triangle AXO$ и $\triangle BXO$ подобны. Откуда следует, что $AX = R \frac{OA}{OB}.$ С центром в точке $A$ нужно построить окружность радиуса $R \frac{OA}{OB}$ - ее пересечение с данной окружностью и даст точку $X.$

maxal
Извините за тупость. А откуда видно подобие?

[maxal]

Я ошибся, они не обязаны быть подобны. Но можно заметить вот что:

Если провести в точке $X$ общую касательную к эллипсу и окружности. С прямой $OX$ она образует прямой угол, а с прямыми $AX$ и $BX$ - равные углы (для касательной к эллипсу углы падения лучей из фокусов равны). Отсюда можно получить тот факт, что прямая $OX$ является биссектрисой угла $\angle AXB.$

[Macavity]

maxal писал(а):

Я ошибся, они не обязаны быть подобны.

Да, вроде бы, не подобны. Слава богу, а то уже думал, что крышей поехал.
Но, возможно, верные размышления об углах помогут в геометрическом решении задачи.

Я все-таки хочу продолжить мысль про аналитическое решение.
Если довести преобразование Lion до конца, то получим уравнение четвертой степени от x, c переменной d.
Мне кажется, что для случая касания должен быть кратный корень. Если продифферинцировать многочлен, то полученный многочлен будет иметь такой же некратный корень (для каких-то двух значений d: максимума и минимума). Если это так, то надо найти эти d. Но так как для этих d у этих многочленов есть общий корень, то можно попробовать найти НОД этих многочленов и условие, что НОД есть и этот НОД есть многочлен первой степени и будет условием, определяющим d.
Вот только не уверен насколько это правильно и просто.

Дополнено
Ошибся, везде по тексту выше для варьируемой переменной использовал d, а не b - исправил. Есть сомнения по поводу степени НОД (ввиду максимума и минимума, возможно, НОД должен иметь вторую степень, но все таки кажется, что первую).

[sergey1]

Пусть Р - точка пересечения прямой АВ и ее образа при инверсии относительно данной окружности. Тогда одна из касательных (та, что между лучами РА и РА'), проведенная из Р коснется данной окружности в искомой точке.

Интересно,какким будет кратчайший путь от А к В, если внутрь окружности заходить нельзя?

[незваный гость]

Macavity писал(а):

Но корни Вы так и не нашли?

Из исходной системы уравнений тоже получается уравнение четвертой степени (возможно, более сложное), но от этого не легче.

Я — нашел. Но какой смысл публиковать четырехстраничную формУлу? К нашим знаниям она ничего не прибавит. Что же касается того, что дает исходная система, то тут ответ такой — она, конечно, дает, но Вы через выкладки продеритесь. Вся (невеликая) радость от описанного мной подхода, что он позволил продраться.

maxal писал(а):

Мы тут аналитическими методами увлеклись, а может эта задача на построение?

Оно, конечно, может быть, но убедиться, что решения нет, легко. Достаточно рассмотреть окружность с центром в $(3,2)$ и радиусом $1$. В уравнении сразу же возникают кубические радикалы, к тому же комплексные.

Легко убедиться, кстати, что в этом случае уравнение даст четыре различных корня. Хороня надежду на кратный корень в общем случае.

[Lion]

sergey1 писал(а):

Пусть Р - точка пересечения прямой АВ и ее образа при инверсии относительно данной окружности. Тогда одна из касательных (та, что между лучами РА и РА'), проведенная из Р коснется данной окружности в искомой точке...

Но если прямая $(AB)$ не пересекает окружность, то ее инверсный образ тоже не будет пересекать $(AB)$. Да и в случае, когда пересечение есть (т.е. когда точки $A$ и $B$ лежат внутри окружности), пересечение инверсного образа и $AB$ будет совпадать с точками пересечения $\omega$ и $AB$, т.е. по-вашему и будут искомыми точками. Но это, очевидно, неверно.

[Lion]

незваный гость писал(а):

Легко убедиться, кстати, что в этом случае уравнение даст четыре различных корня. Хороня надежду на кратный корень в общем случае.

Но в таком случае получится несколько точек максимума или минимума, хотя понятно, что есть ровно одна точка максимума и ровно одна точка минимума. Чему же соответствуют еще два корня уравнения?

[незваный гость]

Мы получаем корни для $\rho^2$. Если рассмотреть эллипс, его уравнение было $\frac{x^2}{\rho^2}+\frac{y^2}{\rho^2-1}= 1$.

То, что я видел, два добавочных корня соответствуют $\rho^2 < 1$. Таким образом, эллипс переходит в гиперболу, касающуюся окружности.