Условный экстремум. Метод Лагранжа.

[мат-ламер]

laplas_the_best. Я Ваших вычислений не понял, но система уравнений, возникающая при применении множителей Лагранжа к нашей задаче следующая - $(A-2\lambda E)X=0$, где $A$ - матрица нашей квадратичной формы (единичная с нулями на главной диагонали). (Она же матрица Гесса). $X=(x,y,z)$. При желании здесь вместо $\lambda$ можно ввести новую переменную, которая большее её в два раза. Теперь сразу видна аналогия с задачей на собственные значения и вектора.

[laplas_the_best]

Если решать систему, которую я составил, то там все три уравнения линейно зависимы (можно сказать, что одинаковые).
То есть ее решение не единственно!

-- Вс апр 17, 2011 20:38:10 --

Можно решить тогда решить такую систему.

$$\begin{cases} x+y+z=0 \\ x^2+y^2+z^2=1 \\ \end{cases}$$

Но здесь тоже не хватает третьего уравнения!!!

-- Вс апр 17, 2011 20:43:02 --

мат-ламер в сообщении #436005 писал(а):

laplas_the_best. Я Ваших вычислений не понял, но система уравнений, возникающая при применении множителей Лагранжа к нашей задаче следующая - $(A-2\lambda E)X=0$, где $A$ - матрица нашей квадратичной формы (единичная с нулями на главной диагонали). (Она же матрица Гесса). $X=(x,y,z)$. При желании здесь вместо $\lambda$ можно ввести новую переменную, которая большее её в два раза. Теперь сразу видна аналогия с задачей на собственные значения и вектора.

Теперь я вас понял, спасибо! Сделаю так как вы просите!!!

-- Вс апр 17, 2011 20:48:15 --

$2\lambda=\mu$

$$\begin{pmatrix} -\mu & 1 & 1 \\ 1 & -\mu & 1\\ 1 & 1 & -\mu \\ \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x \\ y\\ z\\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix} $$

$$\begin{vmatrix} -\mu & 1 & 1 \\ 1 & -\mu & 1\\ 1 & 1 & -\mu \\ \end{vmatrix}=-\mu(\mu^2-1)-(-\mu-1)+(1+\mu)= -\mu(\mu-1)(1+\mu)+2(1+\mu)=$$

$$=(1+\mu)(-(\mu-1)\mu+2))=(\mu+1)(\mu-\mu^2+2)=(\mu+1)(\mu-1)(\mu+2)=0$$

$$\begin{cases} \mu_1=1 \\ \mu_2=-1 \\ \mu_3=-2 \\ \end{cases} $$

Правильно?))

[мат-ламер]

laplas_the_best Система, которую привели Вы, правильная, и она задаёт множество минимумов в виде окружности (минимум не единственен). Выберите в ней какую-либо точку. Но Вы должны найти и множество максимумов (оно состоит из двух точек).

[laplas_the_best]

мат-ламер в сообщении #436031 писал(а):

laplas_the_best Система, которую привели Вы, правильная, и она задаёт множество минимумов в виде окружности (минимум не единственен). Выберите в ней какую-либо точку. Но Вы должны найти и множество максимумов (оно состоит из двух точек).

А почему эта система задает именно множество минимумов?
А как найти множество максимумов

1) При $\mu_2=1$

$$\begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1\\ 1 & 1 & -1 \\ \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x \\ y\\ z\\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix} $$

система имеет тривиальное решение $(0;0;0)$

2)При $\mu_2=-1$ система имеет тривиальное решение $(0;0;0)$

3) При $\mu_3=-2$

$$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 2 \\ \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x \\ y\\ z\\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix} $$

Эта система имеет тоже только тривиальное решение!

[мат-ламер]

laplas_the_best. Проверьте правильность вычисления определителя. Там должен быть кратный корень. Система в результате должна получится вырожденной. Из всех решений нужно выбрать те, которые лежат на единичной сфере.

[laplas_the_best]

мат-ламер в сообщении #436045 писал(а):

laplas_the_best. Проверьте правильность вычисления определителя. Там должен быть кратный корень. Система в результате должна получится вырожденной. Из всех решений нужно выбрать те, которые лежат на единичной сфере.

Почему-то не нашел ошибки(

[мат-ламер]

Определитель Вы начали вычислять правильно. Проверьте правильность решения квадратного уравнения.

[laplas_the_best]

Да, точно! Спасибо!
Двукратное значение $\mu=-1$
Собственный вектор, соответствующий этому значению -- нулевой...
(прочитал на предыдущей странице, там написано, что это означает, что там минимум)
Однократное значение $\mu=-2$
Собственный вектор, соотвествующий этому значению -- нулевой...
(прочитал на предыдущей странице, там написано, что это означает, что там максимум)

А $(0;0;0)$ не лежит на единичной сфере ...(

[bot]

Пожалуй данный пример не слишком удачен, поскольку включает в себя волевое начало: после применения необходимого условия надо определяться, стоит или не стоит применять достаточное. К вопросу о том как правильно применять достаточное условие (если стали на эту тропу) мы ещё и не приступали, хотя в самом начале об этом было сказано. Рекомендую ТС посмотреть ситуацию попроще.

[мат-ламер]

laplas_the_best. Почему у Вас собственные вектора исключительно нулевые? После подставления собственных чисел в систему, та становится вырожденной. И среди собственных векторов можно найти вектор и с единичной нормой. Может я слишком сложный пример взял? Пример из сборника задач по матанализу специально с незнакоопределённой матрицей Гесса. По ссылке пример с положительно определённой матрицей Гесса (если в ней исправить ошибки).

[Yu_K]

- картинка к задаче - поверхности уровня здесь однополостные и двуполостные гиперболоиды и даже один конус есть среди них. Случаи касания этих пов-тей с единичной сферой и дают здесь точки экстремума.

Для закрепления материала можно порешать задачу номер 8 из тривиума В.И. Арнольда http://www.ega-math.narod.ru/Arnold.htm - там тоже вырожденные случаи.

[мат-ламер]

Если laplas_the_best ещё не потерял интерес к теме, предлагаю ему решить следующую задачу. Найти минимум функции $f(x,y)=xy$ при ограничениях $xy=1, x\ge 0, y\ge 0$. Это конечно попроще, чем ранее предложенные задачи, но за-то есть шанс дойти до конца.

[bot]

Хорошая иллюстрация метода Лагранжа без технических трудностей. Только наверно имелась в виду функция $f=x+y$ или наоборот ограничение $x+y=1$. Можно рассмотреть и ту и эту.

[мат-ламер]

Да, случайная описка. Имел ввиду ограничение $x+y=1$, но можно рассмотреть оба варианта.

[laplas_the_best]

Интерес не потерел) Прошу прощения отсутсвие меня на форуме)

-- Чт апр 28, 2011 18:56:39 --

bot в сообщении #438178 писал(а):

Хорошая иллюстрация метода Лагранжа без технических трудностей. Только наверно имелась в виду функция $f=x+y$ или наоборот ограничение $x+y=1$. Можно рассмотреть и ту и эту.

Необходимые условия экстремума не выполнены!

-- Чт апр 28, 2011 18:59:36 --

Видимо имелось ввиду $f=xy$ при ограничении $x+y=1$?
Тут необходимое условие выполнено, а матрица Гессе вырождена!

-- Чт апр 28, 2011 19:15:49 --

мат-ламер в сообщении #436776 писал(а):

laplas_the_best. Почему у Вас собственные вектора исключительно нулевые? После подставления собственных чисел в систему, та становится вырожденной. И среди собственных векторов можно найти вектор и с единичной нормой. Может я слишком сложный пример взял? Пример из сборника задач по матанализу специально с незнакоопределённой матрицей Гесса. По ссылке пример с положительно определённой матрицей Гесса (если в ней исправить ошибки).

Спасибо, но пока что я не понял в чем ошибки)