Альтернативные продолжения целочисленных последовательностей

[Xenia1996]

На Математическом Празднике 1994-го года предлагалась седующая детская задачка:

Цитата:

Найдите в последовательности 2, 6, 12, 20, 30, ... число, стоящее а) на 6-м; б) на 1994-м месте. Ответ объясните.

Далее было написано:

Цитата:

Если вы найдёте какое-нибудь другое (но тоже ''достаточно простое'') правило, дающее последовательность 2, 6, 12, 20, 30, напишите, пожалуйста, нам (а на олимпиаде такое решение тоже было бы засчитано!).

Ссылочка прилагается:

http://problems.ru/view_problem_details ... ?id=103775

Я не могла не принять этот вызов, и написала им вот что:

Цитата:

КОММЕНТАРИЙ к задаче http://www.problems.ru/view_problem_det ... ?id=103775
[со страницы http://www.problems.ru/view_problem_det ... ?id=103775]

Сообщение об ошибке или опечатке, комментарии по решению, новое решение:

Здравствуйте!

Вы пишете:

"Если вы найдёте какое-нибудь другое (но тоже ''достаточно простое'') правило, дающее последовательность 2, 6, 12, 20, 30, напишите, пожалуйста, нам (а на олимпиаде такое решение тоже было бы засчитано!)."

Достаточно простых правил можно придумать кучу, было бы желание!

Вот один простой пример: произведение суммы цифр на сумму цифр, сложенную с их количеством: $f(n)=S(n)\cdot(S(n)+d(n))$, где S(n) - сумма десятичных цифр натурального числа n, а d(n) - количество цифр в десятичной записи натурального числа n.

У числа 1 сумма цифр равна 1, количество цифр равно 1, произведение суммы цифр на сумму цифр, сложенную с их количеством равно 2.
Следовательно, $f(1)=S(1)\cdot(S(1)+d(1))=1\cdot(1+1)=2$.

Аналогично, $f(2)=S(2)\cdot(S(2)+d(2))=2\cdot(2+1)=6$,
$f(5)=S(5)\cdot(S(5)+d(5))=5\cdot(5+1)=30$,
$f(6)=S(6)\cdot(S(6)+d(6))=6\cdot(6+1)=42$,
$f(1994)=S(1994)\cdot(S(1994)+d(1994))=23\cdot(23+4)=23\cdot27=(25+2)\cdot(25-2)=25^2-2^2=625-4=621$.

Вот, и даже на бумажке считать не надо (в отличие от 1994*1995)!

А какие (достаточно простые) правила придумали бы Вы, уважаемые форумчане?

[Sonic86]

Я иногда такие задачи решаю при поиске общей формулы - формулу можно угадать, а потом, опираясь на догадку, построить доказательство. То есть такие задачи должны решаться не сами по себе, а в рамках других задач. И критерий отбора тогда очевиден - соответствие настоящей последовательности + доказуемость.

А если решать сами по себе - длина формулы в базисном наборе функций. Вполне себе критерий.

[mserg]

В реальной жизни есть данные – нужно найти (подобрать) математическую модель, которая эти данные описывает. Основные «математизируемые» критерии соответствуют принципу Оккама. В частности, требуются минимумы
* Длины модели (формулы)
* Соответствие экспериментальным данным (здесь точность абсолютна)
* «Минимум объема вычислений»

Можно подобрать бесконечное число моделей, соответствующих конкретным данным (здесь – последовательности). В общем виде, число таких моделей экспоненциально растет с ростом длины формулы. Поэтому, наиболее достоверной будет наиболее короткая из них.

Количество операндов в исходном ответе 5. А у Вас – 8. Достоверность такой формулы близка к нулю.
Условия задачи таковы, что практически в явном виде указывается, что нужно искать формулу n-го члена. С вероятностью, близкой к 1, не существует формулы, состоящей из элементарных функций, короче 5-и. Для доказательства нужно перебрать все формулы, длиной не более 4-х.
Можно, конечно, в качестве элементарных функций объявлять «сумма десятичных цифр числа», «количество всех дырок в десятичных цифрах числа» и т.п., но это не совсем корректно. Это работает только в моделях, связанных с (визуальным) представлением человека.

[grugen]

Предлагаемая последовательность пoдчиняется простому условию.
$a_1=0$, $a_2=2$, $a_n=n(n-1)$

[Kallikanzarid]

Можно записать полином $P$ n-й степени и потребовать $P(k) = a_k$.

А первое впечатление у меня такое: $a_{k+1} - a_{k} = 2 + 2k, \ a_1 = 2$.

[Pahigor]

можно придумать такой многочлен, что он будет выдавать абсолютно любую последовательность чисел при увеличении икс на одну единичку
Так что ряд можно продолжить любой последовательностью чисел, и предъявить соответсвующий многочлен

[anwior]

Xenia1996 в сообщении #435804 писал(а):

На Математическом Празднике 1994-го года предлагалась седующая детская задачка:

Цитата:

Найдите в последовательности 2, 6, 12, 20, 30, ... число, стоящее а) на 6-м; б) на 1994-м месте. Ответ объясните.

На 1994 месте найдём: 3978030.

Обоснование. Пусть $a_n$ обозначает целое число, занимающее $n$-ое место в последовательности 2, 6, 12, 20, 30, ...
Имеем: $a_n=(n+1)^2-(n+1)$.
Всё!
Не всё. Поздное добавление.
Легко видеть, что $n+1$ является делителем без остатка $n$-го числа $a_n$ заданной числовой последовательности.

[anwior]

anwior в сообщении #435962 писал(а):

Xenia1996 в сообщении #435804 писал(а):

На Математическом Празднике 1994-го года предлагалась седующая детская задачка:

Цитата:

Найдите в последовательности 2, 6, 12, 20, 30, ... число, стоящее а) на 6-м; б) на 1994-м месте. Ответ объясните.

На 1994 месте найдём: 3978030.
Обоснование. Пусть $a_n$ обозначает целое число, занимающее $n$-ое место в последовательности 2, 6, 12, 20, 30, ...
Имеем: $a_n=(n+1)^2-(n+1)$.
Всё!
Не всё. Поздное добавление.
Легко видеть, что $n+1$ является делителем без остатка $n$-го числа $a_n$ заданной числовой последовательности.

Можно ещё дополнить, что и сам номер места, т. е. число $n$ также является делителем без остатка $n$-го числа $a_n$ заданной числовой последовательности.
И окончательно, иных взаимно простых делителей (1 не в счет) с $n+1$ и взаимно простых с $n$ число $a_n$ не имеет.

[anwior]

Xenia1996 в сообщении #435804 писал(а):

На Математическом Празднике 1994-го года предлагалась седующая детская задачка:

Цитата:

Найдите в последовательности 2, 6, 12, 20, 30, ... число, стоящее а) на 6-м; б) на 1994-м месте. Ответ объясните.

Последовательности 2, 6, 12, 20, 30, ... можно дать геометрическую интерпретацию. Буду краток.
Каждое число в последовательности есть удвоение $n$-го треугольного числа. Ясно, что всеми и каждым из количеств шаров 1, 3, 6, 10, 15, ... можно сварганить правильный треугольник без пустот.