2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Многочлен четвёртой степени
Сообщение16.04.2011, 14:26 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
Всякий ли многочлен четвёртой степени $P(x)$ представим в виде $P(x)=Q(R(x))$, где $Q(x)$ и $R(x)$ - квадратные трёхчлены?

 Профиль  
                  
 
 Re: Многочлен четвёртой степени
Сообщение16.04.2011, 15:18 
Заслуженный участник


20/12/10
9110
Xenia1996 в сообщении #435475 писал(а):
Всякий ли многочлен четвёртой степени $P(x)$ представим в виде $P(x)=Q(R(x))$, где $Q(x)$ и $R(x)$ - квадратные трёхчлены?


Многочлен $x^4+x$ (и много других) непредставим в указанном виде.

 Профиль  
                  
 
 Re: Многочлен четвёртой степени
Сообщение17.04.2011, 10:49 


14/04/11
33
Переформулируем задачу: найдите все многочлены чётвертой степени, не представимые в вышеуказанной форме.

 Профиль  
                  
 
 Re: Многочлен четвёртой степени
Сообщение17.04.2011, 11:30 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
$\exists\;Q(R(x))=x^4+\alpha x^3+\beta x^2+\gamma x+\delta \quad\Longleftrightarrow\quad \alpha(4\beta-\alpha^2)=8\gamma$

 Профиль  
                  
 
 Re: Многочлен четвёртой степени
Сообщение17.04.2011, 12:23 


14/04/11
33
Доказательство?

 Профиль  
                  
 
 Re: Многочлен четвёртой степени
Сообщение17.04.2011, 12:49 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
В лоб: $R(x)=x^2+ax+b$; $Q(y)=y^2+cy+d$;

$Q(R(x))=(x^2+ax+b)^2+c(x^2+ax+b)+d=$

$=x^4+x^3\cdot2a+x^2(a^2+2b+c)+x(2ab+ac)+(b^2+bc+d);$

$\begin{cases}2a=\alpha;\\a^2+2b+c=\beta;\\a(2b+c)=\gamma;\\b^2+bc+d=\delta.\end{cases}$

Неизвестная $a$ связана с альфой взаимно однозначно, поэтому можно считать её не неизвестной, а параметром. Тогда совместность второго и третьего уравнения равносильна тому, что $a(\beta-a^2)=\gamma$. А если это условие выполнено, то остаётся система из двух уравнений (второго и четвёртого) для трёх неизвестных $b,c,d$, которая разрешима всегда: она сводится к квадратному уравнению для $b$ или $c$, которое всегда можно сделать разрешимым подходящим выбором $d$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Многочлен четвёртой степени
Сообщение17.04.2011, 13:45 
Заслуженный участник


20/12/10
9110
А над полем рациональных чисел также легко будет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Многочлен четвёртой степени
Сообщение17.04.2011, 14:44 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
nnosipov в сообщении #435846 писал(а):
А над полем рациональных чисел также легко будет?

Боюсь, что да. Ведь рациональное $d$ можно будет брать каким угодно и, в т.ч., подобрать какое нужно. Вот если все коэффициенты всех многочленов целые -- тогда так сразу не скажу; может, и ещё какие ограничения появятся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Многочлен четвёртой степени
Сообщение17.04.2011, 15:05 
Заслуженный участник


20/12/10
9110
ewert в сообщении #435868 писал(а):
nnosipov в сообщении #435846 писал(а):
А над полем рациональных чисел также легко будет?

Боюсь, что да. Ведь рациональное $d$ можно будет брать каким угодно и, в т.ч., подобрать какое нужно. Вот если все коэффициенты всех многочленов целые -- тогда так сразу не скажу; может, и ещё какие ограничения появятся.


Действительно, ведь $d$ входит только линейно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group