Многочлен четвёртой степени

[Xenia1996]

Всякий ли многочлен четвёртой степени $P(x)$ представим в виде $P(x)=Q(R(x))$, где $Q(x)$ и $R(x)$ - квадратные трёхчлены?

[nnosipov]

Xenia1996 в сообщении #435475 писал(а):

Всякий ли многочлен четвёртой степени $P(x)$ представим в виде $P(x)=Q(R(x))$, где $Q(x)$ и $R(x)$ - квадратные трёхчлены?

Многочлен $x^4+x$ (и много других) непредставим в указанном виде.

[w0robey]

Переформулируем задачу: найдите все многочлены чётвертой степени, не представимые в вышеуказанной форме.

[ewert]

$\exists\;Q(R(x))=x^4+\alpha x^3+\beta x^2+\gamma x+\delta \quad\Longleftrightarrow\quad \alpha(4\beta-\alpha^2)=8\gamma$

[w0robey]

Доказательство?

[ewert]

В лоб: $R(x)=x^2+ax+b$; $Q(y)=y^2+cy+d$;

$Q(R(x))=(x^2+ax+b)^2+c(x^2+ax+b)+d=$

$=x^4+x^3\cdot2a+x^2(a^2+2b+c)+x(2ab+ac)+(b^2+bc+d);$

$\begin{cases}2a=\alpha;\\a^2+2b+c=\beta;\\a(2b+c)=\gamma;\\b^2+bc+d=\delta.\end{cases}$

Неизвестная $a$ связана с альфой взаимно однозначно, поэтому можно считать её не неизвестной, а параметром. Тогда совместность второго и третьего уравнения равносильна тому, что $a(\beta-a^2)=\gamma$. А если это условие выполнено, то остаётся система из двух уравнений (второго и четвёртого) для трёх неизвестных $b,c,d$, которая разрешима всегда: она сводится к квадратному уравнению для $b$ или $c$, которое всегда можно сделать разрешимым подходящим выбором $d$.

[nnosipov]

А над полем рациональных чисел также легко будет?

[ewert]

nnosipov в сообщении #435846 писал(а):

А над полем рациональных чисел также легко будет?

Боюсь, что да. Ведь рациональное $d$ можно будет брать каким угодно и, в т.ч., подобрать какое нужно. Вот если все коэффициенты всех многочленов целые -- тогда так сразу не скажу; может, и ещё какие ограничения появятся.

[nnosipov]

ewert в сообщении #435868 писал(а):

nnosipov в сообщении #435846 писал(а):

А над полем рациональных чисел также легко будет?

Боюсь, что да. Ведь рациональное $d$ можно будет брать каким угодно и, в т.ч., подобрать какое нужно. Вот если все коэффициенты всех многочленов целые -- тогда так сразу не скажу; может, и ещё какие ограничения появятся.

Действительно, ведь $d$ входит только линейно.