Система иррациональных уравнений

[dnoskov]

ИСН

Цитата:

- "значит, такие теперь стали на фабрике делать".

Да, это есть. Но Вы знаете что самое любопытное?
Это то, что в ответе указано $(4;5)$. И это решение, конечно же очевидно. Оно так и лезет в глаза. Но разве (будучи составителем задачи) можно рассчитывать на то, что за 10-15 мин. (т.е., например, во время экзамена) можно записать полное решение этой системы (т.е. в том числе и обоснование того, что никаких решений, кроме $(4;5)$, система не имеет (это, разумеется, в том случае, если она их действительно не имеет))?

Цитата:

- ошибка где-то в условии (но... см. выше);

Явление весьма распространённое. Прямо-таки похоже, что люди, прикладывающие руки к созданию сборников задач, разучились их (руки) прикладывать. Но нет. Как-же можно разучиться делать то, чем занимаешься постоянно? Вывод: эти самые люди (или какое-то их подмножество) утратили совесть, что явилось результатом общей безнравственности (не путать со злонравием).

Цитата:

- ошибка где-то в арифметике (но тогда бы вряд ли оно свернулось так красиво);

Во-во. Только я в извращённой арифметике поднаторел. Уже много опечаток разоблачил (не о всех я здесь пишу (а их - пруд пруди)). Т.е. арифметику я делаю оооооочень аккуратно (стараюсь во всяком случае). Это в результате обилия опечаток - приходится себя перепроверять по несколько раз.

ПС. Простите. Просто накипело.

Cute

1. Это интересно. Надо взять на заметку
2. Кабы знал что о гиперболических функциях...

ИСН,Cute и всем Благо дарю за участие.

[Someone]

dnoskov в сообщении #435244 писал(а):

$ \left\{ \begin{array}{l} \sqrt{y}-4+x=\frac{\sqrt{x+y}+\sqrt{x+y-9}+2}{\sqrt{y} -x+4} \quad (1)\\ 9+(y-5)^2=x+y \quad (2) \end{array} \right. $

Область определения:

$$\begin{cases}x+y\geqslant 9,\\ y\geqslant 0,\\ \sqrt{y}\neq x-4\end{cases}$$

(правда, пользы от неё, как будто, не очень много, поскольку первое неравенство автоматически следует из второго уравнения, а второе впоследствии перекрывается более сильным неравенством).
Умножаем первое уравнение на $\sqrt{y}-x+4$:

$$\begin{cases}y-(x-4)^2=\sqrt{x+y}+\sqrt{x+y-9}+2,\\ 9+(y-5)^2=x+y;\end{cases}$$

подставляем выражение для $x+y$ из второго уравнения в первое:

$$\begin{cases}y-(x-4)^2=\sqrt{9+(y-5)^2}+\sqrt{(y-5)^2}+2,\\ 9+(y-5)^2=x+y.\end{cases}$$

Из первого уравнения находим

$$y=(x-4)^2+\sqrt{9+(y-5)^2}+|y-5|+2\geqslant 0+3+0+2=5,$$

то есть,

$$y\geqslant 5,$$

откуда $|y-5|=y-5$, и система принимает вид

$$\begin{cases}3-(x-4)^2=\sqrt{9+(y-5)^2},\\ 9+(y-5)^2=x+y,\\ y\geqslant 5.\end{cases}$$

В первом уравнении $3-(x-4)^2\leqslant 3$, а $\sqrt{9+(y-5)^2}\geqslant 3$, поэтому равенство возможно только при

$$\begin{cases}3-(x-4)^2=3,\\ \sqrt{9+(y-5)^2}=3,\\ 9+(y-5)^2=x+y,\\ y\geqslant 5,\end{cases}$$

откуда сразу находим единственное решение $x=4,\ y=5$.
Непосредственной подстановкой в исходную систему убеждаемся, что это действительно её решение.

[dnoskov]

Someone

. Клаааааасс!
Вот что значит ОДЗ и здравый смысл! Экономит время и нервы!
Благодарю Вам!