2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Система иррациональных уравнений
Сообщение16.04.2011, 11:59 
ИСН
Цитата:
- "значит, такие теперь стали на фабрике делать".

Да, это есть. Но Вы знаете что самое любопытное?
Это то, что в ответе указано $(4;5)$. И это решение, конечно же очевидно. Оно так и лезет в глаза. Но разве (будучи составителем задачи) можно рассчитывать на то, что за 10-15 мин. (т.е., например, во время экзамена) можно записать полное решение этой системы (т.е. в том числе и обоснование того, что никаких решений, кроме $(4;5)$, система не имеет (это, разумеется, в том случае, если она их действительно не имеет))?
Цитата:
- ошибка где-то в условии (но... см. выше);

Явление весьма распространённое. Прямо-таки похоже, что люди, прикладывающие руки к созданию сборников задач, разучились их (руки) прикладывать. Но нет. Как-же можно разучиться делать то, чем занимаешься постоянно? Вывод: эти самые люди (или какое-то их подмножество) утратили совесть, что явилось результатом общей безнравственности (не путать со злонравием).
Цитата:
- ошибка где-то в арифметике (но тогда бы вряд ли оно свернулось так красиво);

Во-во. Только я в извращённой арифметике поднаторел. Уже много опечаток разоблачил (не о всех я здесь пишу (а их - пруд пруди)). Т.е. арифметику я делаю оооооочень аккуратно (стараюсь во всяком случае). Это в результате обилия опечаток - приходится себя перепроверять по несколько раз.

ПС. Простите. Просто накипело.

Cute
  1. Это интересно. Надо взять на заметку
  2. Кабы знал что о гиперболических функциях...

ИСН,Cute и всем Благо дарю за участие.

 
 
 
 Re: Система иррациональных уравнений
Сообщение16.04.2011, 15:18 
Аватара пользователя
dnoskov в сообщении #435244 писал(а):
$ \left\{ \begin{array}{l} 
\sqrt{y}-4+x=\frac{\sqrt{x+y}+\sqrt{x+y-9}+2}{\sqrt{y} -x+4} \quad (1)\\ 
9+(y-5)^2=x+y \quad (2) \end{array} \right. $

Область определения: $$\begin{cases}x+y\geqslant 9,\\ y\geqslant 0,\\ \sqrt{y}\neq x-4\end{cases}$$ (правда, пользы от неё, как будто, не очень много, поскольку первое неравенство автоматически следует из второго уравнения, а второе впоследствии перекрывается более сильным неравенством).
Умножаем первое уравнение на $\sqrt{y}-x+4$: $$\begin{cases}y-(x-4)^2=\sqrt{x+y}+\sqrt{x+y-9}+2,\\ 9+(y-5)^2=x+y;\end{cases}$$ подставляем выражение для $x+y$ из второго уравнения в первое: $$\begin{cases}y-(x-4)^2=\sqrt{9+(y-5)^2}+\sqrt{(y-5)^2}+2,\\ 9+(y-5)^2=x+y.\end{cases}$$ Из первого уравнения находим $$y=(x-4)^2+\sqrt{9+(y-5)^2}+|y-5|+2\geqslant 0+3+0+2=5,$$ то есть, $$y\geqslant 5,$$ откуда $|y-5|=y-5$, и система принимает вид $$\begin{cases}3-(x-4)^2=\sqrt{9+(y-5)^2},\\ 9+(y-5)^2=x+y,\\ y\geqslant 5.\end{cases}$$ В первом уравнении $3-(x-4)^2\leqslant 3$, а $\sqrt{9+(y-5)^2}\geqslant 3$, поэтому равенство возможно только при $$\begin{cases}3-(x-4)^2=3,\\ \sqrt{9+(y-5)^2}=3,\\ 9+(y-5)^2=x+y,\\ y\geqslant 5,\end{cases}$$ откуда сразу находим единственное решение $x=4,\ y=5$.
Непосредственной подстановкой в исходную систему убеждаемся, что это действительно её решение.

 
 
 
 Re: Система иррациональных уравнений
Сообщение10.05.2011, 15:44 
Someone

:shock: . Клаааааасс!
Вот что значит ОДЗ и здравый смысл! Экономит время и нервы!
Благодарю Вам!

 
 
 [ Сообщений: 18 ]  На страницу Пред.  1, 2


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group