Так это и хорошо. Ньютонова механика - всего лишь строительные леса для Лагранжа и Гамильтона, максимум практический вычислительный метод. Причём строительные леса, сыгравшие свою роль исторически, но отнюдь не логически. Так что как раз Ландау и Лифшиц в этом моменте правильно мозги ставят.
Это скорее всего просто мой характер - в свое время меня такой подход просто шокировал - казалось, что прилетели пришельцы и рассказывают про свою науку. Да и потом в случае неголономных или неконсирвативных систем Ньютонова не сильно то и меняется - можно вводить обобщенные силы, но так редко делают и это не очень полезно.
А какая должна быть мотивация, кроме первого порядка и общности?
Порядок сам по себе не дает ничего, поскольку уравнения из Лагранжа можно почти всегда в первый порядок привести за пол преобразования. Основное преимущество это возможность делать канонические преобразования - менять обычные координаты на какие угодно величины, порой даже без физического смысла, но действительно упрощать уравнения. А главное достоинство - через скобки Пуассона чуть ли не прямая связь с квантовой механикой. Но у Ландау и Лифшица об этом не говорится к сожалению и очень мало примеров.
