Базисы и координаты в учебнике Зорича

[caxap]

_hum_
Да, MaximVD уже мне разъяснил. Непонятки возникли из-за того, что в учебнике об этом не сказано вообще ничего. Просто внезапно $L(h)$ стал $\tilde L(\tilde h)$. К тому же это учебник для первокурсников, обычно в них всякую запятую поясняют.

[_hum_]

Так а что тогда осталось непонятным, раз топик продолжается?
И какой смысл постоянно говорить о коордианатах вместо того, чтобы использовать их только единожды - для построения "координатного представления" отображений (а дальше работать с обычными векторными (арифметическими) пространствами).

[caxap]

_hum_ в сообщении #434933 писал(а):

Так а что тогда осталось непонятным, раз топик продолжается?

На прошлой странице появились ещё вопросы.

[_hum_]

Если насчет соотношения матрицы Якоби и производной отображения, то не совсем понятно, в чем проблема. Если изначально задано отображение $f: R^m \rightarrow R^n$, то производной отображения $f $ в точке $v^0\in R^m$ называется линейный оператор $L$, удовлетворяющий $f(v) = f(v^0) + L(v-v^0) + o(v-v^0)$. Поскольку для всяких $v = \big(x_1,\dots,x_m\big), v^0 = \big(x^0_1,\dots,x^0_m\big)$
\begin{multline*}f(v) = \big(f_1(x_1,x_2,\dots,x_m),\dots,f_n(x_1,x_2,\dots,x_m)\big) = \\ \big(\sum_i \frac{\partial f_1(x^0_i)}{\partial x_i}(x_i - x^0_i) \,+ \,o,\dots,\sum_i \frac{\partial f_n(x^0_i)}{\partial x_i}(x_i - x^0_i) \,+\, o\big) = ||J(x^0_1,\dots,x^0_m)||\big(x_1 - x_1^0,\dots,x_m - x_m^0\big)^\top \, + \,o,\end{multline*}
то можно говорить о том, что в явном виде производная отображения - это операция умножение матрицы Якоби на вектор-столбец, образованный из вектора арифметического пространства.

Зачем еще рассматривать какие-то базисы и координаты?

[Padawan]

Вот еще пример, который иногда путаницу вызывает. Пусть в в декартовых координатах (в стандартом базисе) $u(x,y)=x+y$, тогда в полярных координатах $u(r,\varphi)=r(\cos\varphi+\sin\varphi)$. Так что же такое $u$?
Просто надо пару $(r,\varphi)$ мысленно снабжать пометкой о том, в какой системе координат она взята.
Т.е. точка $(r,\varphi)_{\text{полярные}}=(r\cos\varphi,r\sin\varphi)\in\mathbb{R}^2$, или, например,
$(x,y)_{\text{декартовые}}=(x,y)\in\mathbb{R}^2$.

[caxap]

Padawan
То есть для функций $f:\mathbb R^2\to \mathbb R$ запись $f(x,y)$ всё-таки значит, что $(x,y)$ -- координаты в какой-то системе координат?

По-моему, пометкой надо снабжать не аргумент (который по аналогии с общим случаем $f:M\to N$, где $M,N$ не векторные пространства, является просто элементом $M$), а функцию. Тогда в вашем примере
$u_{\text{дек}}:\mathbb R^2\to\mathbb R,\ (a,b)\mapsto a(\cos b+\sin b)$
$u_{\text{пол}}:\mathbb R_{+}\times\mathbb R\to\mathbb R,\ (a,b)\mapsto a+b$
функции разные: у них отличаются как графики, так и области определения.

_hum_ в сообщении #434967 писал(а):

Зачем еще рассматривать какие-то базисы и координаты?

Я уже писал зачем. Мне просто интересно. Повторюсь, чтобы не лазить по страницам:
а) Частные производные беруться независимо от базиса, ибо частные функции $f_i$ получаются фиксацией компонент в элементе $\in\mathbb R^n$.
б) В учебниках пишут, что матрица Якоби, кроме того, является матрицей производной как линейного оператора. Но во всех учебниках, что я смотрел, всегда забывают указать: матрица в каком базисе? Пусть он не стандартный. Совпадёт ли матрица производной в этом базисе с матрицей ЧП, которая, как я писал, определяется независимо от базиса? Это и был вопрос.

-- 15 апр 2011, 10:50 --

(Оффтоп)

А непосредственно по

_hum_ в сообщении #434967 писал(а):

Зачем еще рассматривать какие-то базисы и координаты?

тоже был вопрос:

caxap в сообщении #434877 писал(а):

А вообще в матане используют какие-либо базисы, кроме стандартных? Я смотрел учебник Камынина, он более подробный и везде, где он пишет о базисах, он уточняет, что он стандартный.

Извините, я часто создаю тему по одному вопросу, а потом здесь же публикую другие. Просто хочется разобраться, а вопросы маленькие для отдельной темы...

[AD]

Padawan писал(а):

Вот еще пример, который иногда путаницу вызывает. Пусть в в декартовых координатах (в стандартом базисе) $u(x,y)=x+y$, тогда в полярных координатах $u(r,\varphi)=r(\cos\varphi+\sin\varphi)$. Так что же такое $u$?

Халмош, как всегда, всё знает

Халмош писал(а):

Курьез, доставляющий, вероятно, верхнюю границу во множестве бесполез­ных использований букв, встречается в книге Лефшетца [6]. Символ $x_i^p$ обозначает там цепь размерности $p$ (нижний значок, таким образом, - это индекс), тогда как через $x_p^i$ обозначается коцепь размерности $p$ (так что индекс здесь - это верхний значок).
Вопрос: что такое $x_3^2$

[ewert]

_hum_ в сообщении #434967 писал(а):

явном виде производная отображения - это операция умножение матрицы Якоби на вектор-столбец, образованный из вектора арифметического пространства.

Зачем еще рассматривать какие-то базисы и координаты?

А Вы вот ровно координаты с базисами и рассматриваете. Просто эти базисы -- канонические. Однако время от времени системы координат (т.е. соответствующие базисы) менять приходится. Ну хотя бы при приведении квадратичной формы второго дифференциала к каноническому виду.

caxap в сообщении #435018 писал(а):

Совпадёт ли матрица производной в этом базисе с матрицей ЧП, которая, как я писал, определяется независимо от базиса?

Нет, конечно. Инвариантным объектом (абстрактно инвариантным) является сам линейный оператор, стоящий в формальном определении производной. А матрица Якоби, будучи матрицей этого оператора, от выбора базисов, естественно, зависит. Тривиальный пример: рассмотрите просто градиент. И что же: численные значения его компонент не будут меняться при медленном повороте координатных осей?...

[caxap]

ewert в сообщении #435043 писал(а):

Нет, конечно. ...

Вот. Спасибо. Вы просто смутили меня своим первым ответом...

Ну а тогда вопрос: матрица Якоби по определению -- это матрица ЧП или же матрица производной (в выбранном базисе)? Догадываюсь, что первый вариант. Однако не могу придумать, зачем тогда вообще эта матрица нужна. Матрице же производной как оператора нужна -- если мы хотим найти значение производной на некотором приращении в координатах.

[ewert]

caxap в сообщении #435047 писал(а):

это матрица ЧП или же матрица производной (в выбранном базисе)?

Это одно и то же.

(Если, конечно, производная существует: формально говоря, её существование -- требование более жёсткое, чем существование частных производных.)

[caxap]

ewert в сообщении #435049 писал(а):

Это одно и то же.

Но вы же сами до этого написали, что эти матрицы не равны.

[ewert]

caxap в сообщении #435052 писал(а):

:shock: Но вы же сами до этого написали, что эти матрицы не равны.

Вряд ли я такое писал. Я писал, что матрица частных производных зависит от базиса.

Если $A=\{a_{ik}\}$ -- матрица оператора-производной $\widehat A$ в базисе $\{\vec e_k\}$, то это по определению матрицы оператора означает, что для функции $\vec y=\vec y(\vec x)$, где $\vec y=\sum\limits_i\eta_i\vec e_i$ и $\vec x=\sum\limits_k\xi_k\vec e_k$ их бесконечно малые приращения связаны соотношением

$d\vec y=\widehat A\,d\vec x\quad\Leftrightarrow\quad\sum\limits_id\eta_i\cdot\vec e_i=\widehat A\sum\limits_kd\xi_k\cdot\vec e_k\quad\Leftrightarrow\quad d\eta_i=\sum\limits_ka_{ik}\,d\xi_k\ (\forall i).$

Однако последнее равенство уже по определению частных производных означает, что $\dfrac{\partial\eta_i(\xi_1,\xi_2,\ldots)}{\partial\xi_k}=a_{ik}$. В общем, нету тут никакой глубокой математики, просто перевод с одного языка на другой и всё.

[caxap]

caxap в сообщении #435018 писал(а):

Частные производные беруться независимо от базиса

Это не верно?

-- 15 апр 2011, 14:24 --

Пусть $f:\mathbb R^2\to\mathbb R,\ (x,y)\mapsto 2x+y$. Зафиксируем базис $\vec e_1=(0,1)$, $\vec e_2=(1,0)$ (переставленные векторы из стандартного базиса).
Частные производные $\mathrm D_1\,f(x,y),\ \mathrm D_2\,f(x,y)$ фунции $f$ по первому и второму аргументу равны $2$ и $1$ соответственно. Так?
Матрицей $f'(x,y)$ в базисе $(\vec e_1,\vec e_2)$ будет $(1,2)$. Так?

[_hum_]

caxap в сообщении #435018 писал(а):

_hum_ в сообщении #434967 писал(а):

Зачем еще рассматривать какие-то базисы и координаты?

... В учебниках пишут, что матрица Якоби, кроме того, является матрицей производной как линейного оператора. Но во всех учебниках, что я смотрел, всегда забывают указать: матрица в каком базисе? ...

Может, все-таки вы не совсем правильно поняли трактовку термина "матрица производной" в тех учебниках? Глянул матанализ Дороговцева. У него матрицей производной надывается просто такая матрица, произведение которой на вектор дает главную линейную часть приращения функции (то есть в этом определении зависимости от базиса нет).

ewert в сообщении #435043 писал(а):

_hum_ в сообщении #434967 писал(а):

явном виде производная отображения - это операция умножение матрицы Якоби на вектор-столбец, образованный из вектора арифметического пространства.

Зачем еще рассматривать какие-то базисы и координаты?

А Вы вот ровно координаты с базисами и рассматриваете. Просто эти базисы -- канонические. Однако время от времени системы координат (т.е. соответствующие базисы) менять приходится. Ну хотя бы при приведении квадратичной формы второго дифференциала к каноническому виду.

Нет, я предлагал рассматривать именно абстрактное векторное пространство упорядоченных наборов вещественных чисел (арифметическое пространство). А то, что эти наборы в точности совпадают с наборами координат в стандартном базисе, так это лишь одна из возможных трактовок, которая в данном случае не главная и лишь приводит к путанице.

[ewert]

caxap в сообщении #435056 писал(а):

caxap в сообщении #435018 писал(а):

Частные производные беруться независимо от базиса

Это не верно?

Неверно. Частные производные по определению частных производных берутся по отдельным координатам. А координаты по определению координат определяются базисом. Ну и с какой стати частные производные не будут зависить от базиса?

caxap в сообщении #435056 писал(а):

Пусть $f:\mathbb R^2\to\mathbb R,\ (x,y)\mapsto 2x+y$. Зафиксируем базис $\vec e_1=(0,1)$, $\vec e_2=(1,0)$ (переставленные векторы из стандартного базиса).
Частные производные $\mathrm D_1\,f(x,y),\ \mathrm D_2\,f(x,y)$ фунции $f$ по первому и второму аргументу равны $2$ и $1$ соответственно. Так?

Не так. Порядок перечисления аргументов (т.е. координат) определяется порядком нумерации базисных векторов, при которых они -- координаты. Ведь нужен же какой-то критерий способа их нумерации, не так ли? -- а никакого другого разумного способа и нет. Т.е. в Вашем примере икс -- это второй аргумент, а игрек -- первый.

_hum_ в сообщении #435060 писал(а):

я предлагал рассматривать именно абстрактное векторное пространство упорядоченных наборов вещественных чисел

Вы уж выберите что-то одно (как в том анекдоте): или абстрактное векторное пространство, или вполне конкретное пространство числовых столбцов.