Неравенство в натуральных числах

[nnosipov]

Натуральные числа $a$, $b$, $c$ таковы, что $|a^2+b^2-abc-2|<c$. Какие значения может принимать выражение $a^2+b^2-abc$?

[maxal]

См. http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 2&t=150372

[nnosipov]

maxal в сообщении #435015 писал(а):

См. http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 2&t=150372

Примерно пару месяцев тому назад я писал автору этой задачи, что он её неаккуратно формулирует (странно, что этого раньше никто не заметил). В моей формулировке он её видел впервые и не знал о таком обобщении. Кстати, неравенство усилить нельзя, если мы хотим иметь тот же результат.

[maxal]

nnosipov в сообщении #435019 писал(а):

Примерно пару месяцев тому назад я писал автору этой задачи, что он её неаккуратно формулирует

Как указано на Artofproblemsolving, автором задачи является Shailesh Shirali и впервые она опубликована в журнале Crux Mathematicorum with Mathematical Mayhem под номером 1420 в лохматых 90-х. Так что, возмущаться по поводу "неаккуратности формулировки" на Artofproblemsolving бесполезно - там эта задача всего лишь процитирована.

[nnosipov]

maxal в сообщении #435022 писал(а):

nnosipov в сообщении #435019 писал(а):

Примерно пару месяцев тому назад я писал автору этой задачи, что он её неаккуратно формулирует

Как указано на Artofproblemsolving, автором задачи является Shailesh Shirali и впервые она опубликована в журнале Crux Mathematicorum with Mathematical Mayhem под номером 1420 в лохматых 90-х. Так что, возмущаться по поводу "неаккуратности формулировки" на Artofproblemsolving бесполезно - там эта задача всего лишь процитирована.

Да я и не возмущаюсь. Просто указываю на вполне содержательное её обобщение. Видели Вы раньше это обобщение?

[maxal]

nnosipov в сообщении #435023 писал(а):

Просто указываю на вполне содержательное её обобщение. Видели Вы раньше это обобщение?

Не видел, но почему вы называете его обобщением? Одно из другого (по крайней мере, в лоб) не следует. Если их раскрыть, то получится:

$$0<a^2+b^2-abc<c$$

и

$$2-c<a^2+b^2-abc<c+2.$$

[неверное утверждение удалено]

[nnosipov]

Согласен, "обобщение " здесь не самый лучший термин. Наверное, правильнее было бы сказать "уточнение" или "усиление". Раз уж Вы заинтересовались, спрошу ещё про одну близкую вещь (на artofproblemsolving так никто и не ответил по существу). Есть ли на русском языке популярные статьи (на школьном уровне), где бы излагалась какой-нибудь способ решения общих уравнений 2-й степени с двумя неизвестными (не только уравнений Пелля, про которые действительно много написано)? Я по этому поводу нечто популярное написал (а как здесь приложить файл?), возможно, это было бы интересно. И ещё по поводу неаккуратности: вот файл http://www.imomath.com/tekstkut/pelleqn_ddj.pdf, в котором теорема 5, на которую любят ссылаться, сформулирована просто ужасно; упражнение 6 далее по тексту вообще неверно. Впрочем, есть и хорошие изложения, например книга Barbeau E.J. Pell's equation. New-York: Springer-Verlag, 2003. Но опять же, не на русском ...

[maxal]

nnosipov в сообщении #435031 писал(а):

Есть ли на русском языке популярные статьи (на школьном уровне), где бы излагалась какой-нибудь способ решения общих уравнений 2-й степени с двумя неизвестными (не только уравнений Пелля, про которые действительно много написано)?

По-русски - не знаю. А вообще - см. topic29053.html

[nnosipov]

maxal в сообщении #435028 писал(а):

Обобщением соответственно будет:

$$|a^2+b^2-abc-1|<c+1.$$

При таком обобщении мы потеряем заключение, т.е. нельзя будет утверждать, что $a^2+b^2-abc$ --- точный квадрат.

-- Пт апр 15, 2011 15:06:42 --

maxal в сообщении #435033 писал(а):

По-русски - не знаю. А вообще - см. topic29053.html

Спасибо, уже видел.

[maxal]

nnosipov в сообщении #435034 писал(а):

При таком обобщении мы потеряем заключение, т.е. нельзя будет утверждать, что $a^2+b^2-abc$ --- точный квадрат.

Я всего лишь объединил формулировку Shailesh Shirali с вашей. Если "yтверждать нельзя", то одна из формулировок задачи - неверна.

[nnosipov]

С моей формулировкой всё в порядке, прошу убедиться.

[maxal]

nnosipov в сообщении #435071 писал(а):

С моей формулировкой всё в порядке, прошу убедиться.

То есть, вы считаете, что утверждение Shailesh Shirali ошибочно?

[nnosipov]

maxal в сообщении #435076 писал(а):

nnosipov в сообщении #435071 писал(а):

С моей формулировкой всё в порядке, прошу убедиться.

То есть, вы считаете, что утверждение Shailesh Shirali ошибочно?

Ошибочно, maxal, то, как Вы понимаете утверждение Shailesh Shirali. Вот как оно выглядит (по крайней мере, в версии artofproblemsolving.com): If $a$, $b$, $c$ are positive integers such that $0 < a^{2}+b^{2}-abc \le c$, show that $a^{2}+b^{2}-abc$ is a perfect square.

Где Вы здесь обнаружили неравенства $-c<a^{2}+b^{2}-abc<c$?

[maxal]

nnosipov в сообщении #435077 писал(а):

Ошибочно, maxal, то, как Вы понимаете утверждение Shailesh Shirali.

Виноват, не туда посмотрел.

[nnosipov]

Пришлось, правда, пожертвовать значением $c=1$.