integer solution

[man111]

find integer solution of $m$ and $n$ satisfying the equation $\displaystyle(m-n)^2 = \frac{4mn}{m+n-1}$

[Null]

m+n=0

[nnosipov]

man111 в сообщении #434480 писал(а):

find integer solution of $m$ and $n$ satisfying the equation $\displaystyle(m-n)^2 = \frac{4mn}{m+n-1}$

Hint: take $x=m+n$, $y=m-n$ for new unknowns.

P.S. Я невнимательно прочитал условие и решал уравнение $(m-n)^2=\frac{4mn}{m+n+1}$. Оно, кстати, тоже легко решается.

P.P.S. Вообще, в этих уравнениях уж слишком много симметрии, сгодилась бы и замена $x=m+n$, $y=mn$.

[man111]

Using The Given Substution I have got $x=0$ and $y=0$

Means $m+n=0$ and $m-n=0$. So $m=0$ and $n=0$

Is it Right.

[mserg]

Создается стойкое ощущение, что если в качестве n и m взять соседние числа последовательности
1,3,6,10,15,21,28,36,...
то получим решение

[Dan B-Yallay]

$m,n=0$ is not the only solution.

(Оффтоп)

Let $S_n=\sum\limits_{i=0}^n i =1+2+3+ \ldots +n$, be the sequence of partial sums of arithmetic sequence with $d=1.$ Then for any natural number $k$ the following holds true:

$$ \begin{align*} (S_{k+1}-S_k)^2&=\left( \dfrac {k(k+1)}{2}- \dfrac {k(k-1)}{2}\right)^2=\left( \dfrac{k^2+k-k^2+k}{2} \right)^2=k^2\\ \dfrac{4 S_{k+1}S_k}{S_{k+1}+S_k-1}&= \dfrac{\dfrac{4k(k+1)k(k-1)}{4}}{\dfrac{k^2+k+k^2-k}{2}-1}=k^2 \end{align*} $$

[nnosipov]

Кстати, уравнение

$$ (m-n)^2=\frac{4mn}{m+n+1} $$

действительно имеет единственное решение $(0,0)$. А то уравнение, которое просил решить man111, имеет бесконечно много решений (но не только те, которые были указаны выше).

[mserg]

Решения "не только те, что показаны выше" - в студию!

[Null]

Обсчитался, тогда или $x=0$ или $x=y^2$