Проблема, как Вы правильно заметили, в том, что я хочу (хотел) применить лемму к множеству действительных чисел. Имеете ли Вы ввиду, что множество действительных чисел упорядочено, но не вполне упорядочено и, стало быть, лемма неприменима?
Множество действительных чисел в своем естественном порядке упорядочено, но не вполне упорядочено. Например, каждый открытый интервал не имеет первого элемента. Ваша (Munkres) лемма не может быть применена к подмножествам действительных чисел в их естественном порядке. Но, несомненно, существуют несчетные вполне упорядоченные множества. Несколько из них мы с Вами благополучно разглядели вот здесь
здесь Проблема о возможности вполне упорядочить любое множество эквивалентна аксиоме выбора. Посмотрите в той же книге П. С. Александрова страница 78 (теорема Цермело) и обязательно прочитайте на этой странице сноску.
