Вполне упорядоченные множества

[JMH]

Цитата:

Лемма: Существует такое вполне упорядоченное множество $A$, имеющее наибольший элемент $\Omega$, что отрезок $S_\Omega$ множества $A$ является несчетным, в то время, как любой другой отрезок $A$ счетен.

Доказательство: Возьмем несчетное, вполне упорядоченное множество $B$. Пусть $C=\{1,2\}\times B$ - множество, вполне упорядоченное лексикографически; тогда некоторый отрезок $C$ несчетен (в самом деле, отрезок $C$ вида $2\times b$ несчетен). Тогда пусть $A$ состоит из этого отрезка и элемента $\Omega$.[конец док-ства]

Не могу понять следующее: откуда видно, что любой отрезок $A$, не включающий $\Omega$, счетен? По мне, так наоборот, с $\Omega$ или без - все равно несчетен...

[Виктор Викторов]

А где Вы взяли эту лемму? Посмотрите П. С. Александрова «Введение в теорию множеств и общую топологию». Страница 69. Теорема 17 далее и вокруг. Там много больше текста, но все легко и понятно.

[JMH]

Наткнулся в Munkres, "Topology" и док-ство ввело меня в некоторый ступор. Сейчас поищу в Александрове...

[Виктор Викторов]

Мне бы ещё какое издание и номер страницы...

[JMH]

2-е издание, стр. 66, лемма 10.2

[Виктор Викторов]

Вы упускаете, что $\Omega$ наименьший элемент $C{,}$ отрезок которого несчетен.

[JMH]

Да, Вы правы, эту фразу я пропустил. Однако это не внесло понимания в вопрос: откуда известно, что такой элемент $\Omega$ существует? Например, любой отрезок действительной прямой несчетен, так?

[Виктор Викторов]

Отрезок прямой несчётен, но это не отрезок прямой. Здесь отрезок вполне упорядоченного множества. Начинается это так 1, 2, 3, ...$\omega$, ... $\omega_1$, ... Причём $\omega_1$ уже несчётный ординал. Кстати, отрезок прямой не является вполне упорядоченным множеством. У отрезка прямой есть, конечно, первый элемент, но у него и есть целый ряд подмножеств, не имеющих первого элемента.

[Someone]

JMH в сообщении #433889 писал(а):

откуда известно, что такой элемент $\Omega$ существует?

По определению вполне упорядоченного множества.

[JMH]

Каждое непустое подмножество вполне упорядоченного множества содержит первый (наименьший) элемент по определению. Но как это соотносится с кардинальностью (счетностью - несчетностью) отрезков (сегментов) вполне упорядоченного множества? Не могу увидеть связь...

[Виктор Викторов]

Для начала давайте рассмотрим только счетные множества. Все просто и легко представимо. Выглядит это так: $\left\{1, 2, 3, 4 \dots \right\}{.}$ А теперь я картинку слегка подпорчу: $\left\{2, 3, 4 \dots , 1 \right\}$ - и это вполне упорядочение, но другое. А вот третье -- $\left\{1, 3, 5, 7 \dots , 1, 2, 4, 6, 8 \dots \right\}$. Каждому вполне упорядочению «выдано» по порядковому числу (ординалу). И естественно можно рассмотреть множество ординалов. Ординалы конечных множеств Вам хорошо знакомы 1, 2, 3 и т. д. Первый бесконечный ординал $\omega$ -- это ординал множества $\left\{1, 2, 3, 4 \dots \right\}{.}$ Вы уже догадались, что ординал множества $\left\{2, 3, 4 \dots , 1 \right\}$ выглядит так $\omega + 1{.}$ А ординал множества $\left\{1, 3, 5, 7 \dots ,1, 2, 4, 6, 8 \dots \right\}$ -- $\omega + \omega{.}$ Множество всех ординалов меньше данного (важно!) ординала можно и само вполне упорядочить (по величине). Возьмем к примеру ординал $\omega + 4{.}$ Как выглядит множество с таким ординалом? Да так и выглядит: $\left\{1, 2, 3, 4 \dots , a, b, c, d\right\}{.}$ А как выглядит множество ординалов меньших ординала $\omega + 4{?}$ А вот так: $\left\{1, 2, 3, 4 \dots \omega , \omega + 1 , \omega + 2 , \omega + 3 \right\}{.}$ Заметьте, что $\omega + 4$ в это множество не входит. Ну а отрезки этого множества? А вот они $\left\{1 \right\}{,}$ $\left\{1, 2 \right\}{\dots,}$ $\left\{1, 2, 3, 4 \dots \omega \right\}{,}$ $\left\{1, 2, 3, 4 \dots \omega , \omega + 1 \right\}{,}$ $\left\{1, 2, 3, 4 \dots \omega , \omega + 1 , \omega + 2 \right\}{,}$ $\left\{1, 2, 3, 4 \dots \omega , \omega + 1 , \omega + 2 , \omega + 3 \right\}{.}$ Возникает интересный вопрос: «А сколько всего вариантов вполне упорядочения счетного множества?» или иначе сколько существует счетных ординалов? Ответ на этот вопрос дан теоремой 17 на странице 69 книги П. С. Александрова «Введение в теорию множеств и общую топологию» (докажите её при случае). Счетных ординалов континуум! Теперь, напрягите воображение и, хотя уютно представлять ординалы счетной последовательностью, представим себе все счетные ординалы выстроенные один за одним. А что после них? Их (счетных ординалов) сколько? Континуум. А за ними идет первый несчетный ординал $\omega _1{.}$ Его хорошо себе представить как ординал множества всех счетных ординалов и, конечно, каждый отрезок (ведь $\omega _1$ первый несчетный ординал) множества всех счетных ординалов счетный ординал.

[Someone]

Виктор Викторов в сообщении #434242 писал(а):

Счетных ординалов континуум!

Ой! Не обязательно континуум. Всего лишь $\aleph_1$. Но если справедлива континуум-гипотеза, то континуум.

JMH в сообщении #434221 писал(а):

Каждое непустое подмножество вполне упорядоченного множества содержит первый (наименьший) элемент по определению. Но как это соотносится с кардинальностью (счетностью - несчетностью) отрезков (сегментов) вполне упорядоченного множества? Не могу увидеть связь...

JMH в сообщении #433877 писал(а):

Возьмем несчетное, вполне упорядоченное множество $B$. Пусть $C=\{1,2\}\times B$ - множество, вполне упорядоченное лексикографически; тогда некоторый отрезок $C$ несчетен (в самом деле, отрезок $C$ вида $2\times b$ несчетен).

Возьмите множество тех элементов $c$ вполне упорядоченного множества $C$, для которых отрезок $S_c=\{x\in C:x<c\}$ несчётен. (Почему оно не пусто?) У него есть наименьший элемент $\Omega$. (Почему для каждого $c\in S_{\Omega}$ множество $S_c$ счётно? А почему $S_{\Omega}$ не счётно?)

JMH в сообщении #433877 писал(а):

Не могу понять следующее: откуда видно, что любой отрезок $A$, не включающий $\Omega$, счетен? По мне, так наоборот, с $\Omega$ или без - все равно несчетен...

А что там называется отрезком вполне упорядоченного множества? И правильно ли Вы прочли то, что написано в книге?

[Виктор Викторов]

Someone в сообщении #434245 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #434242 писал(а):

Счетных ординалов континуум!

Ой! Не обязательно континуум. Всего лишь $\aleph_1$. Но если справедлива континуум-гипотеза, то континуум.

Если мы начнем здесь отвергать континуум-гипотезу, то совсем запутаемся. Проблема JMH вот здесь:

JMH в сообщении #433889 писал(а):

... откуда известно, что такой элемент $\Omega$ существует? Например, любой отрезок действительной прямой несчетен, так?

Это часто встречающаяся ошибка: отождествление отрезка действительной прямой с отрезком вполне упорядоченного множества (ничего не поделаешь: психология). Вторая проблема, хорошо представляя себе последовательность, представить несчетное вполне упорядоченное множество. И Someone! Как Вы наверняка заметили я аккуратно обошёл вопрос о существовании множества всех ординалов.

[JMH]

Виктор Викторов в сообщении #434248 писал(а):

Это часто встречающаяся ошибка: отождествление отрезка действительной прямой с отрезком вполне упорядоченного множества (ничего не поделаешь: психология). Вторая проблема, хорошо представляя себе последовательность, представить несчетное вполне упорядоченное множество.

Собственно со вторым у меня проблем нет, я вполне могу себе представить вполне упорядоченное несчетное множество. Проблема, как Вы правильно заметили, в том, что я хочу (хотел) применить лемму к множеству действительных чисел. Имеете ли Вы ввиду, что множество действительных чисел упорядочено, но не вполне упорядочено и, стало быть, лемма неприменима?

-- Ср апр 13, 2011 11:27:40 --

Someone в сообщении #434245 писал(а):

А что там называется отрезком вполне упорядоченного множества? И правильно ли Вы прочли то, что написано в книге?

Отрезком $S_\Omega$ вполне упорядоченного множества, как всегда, называется множество всех элементов, предшествующих $\Omega$. Прочел вроде правильно, к сожалению не могу включить в сообщение скан

(Оффтоп)

Никогда не мог понять, почему не разрешается цеплять к сообщению файлы?

[Dan B-Yallay]

(Оффтоп)

Это чтобы некоторые нехорошие люди под видом безобиднo прикрепленного (pdf, jpg) файла вирусы не распространяли.
А вот почему сканы нельзя напрямую на dxdy.ru/scans/ скидывать? Приходится посторонними ресурсами пользоваться.