Вопросы по синтаксису Бурбаки

[zkutch]

Ответ на В1 положительный в общем смысле, но сам конкретно ваш пример меня немного смущает.
В2 - на стр.40 в главе 1 это §2 1. Аксиомы $1^{0} $

[Виктор Викторов]

creative в сообщении #430536 писал(а):

Цитата:

Знакосочетания изображаемые символами $N$, $Z$, "функция $\Gamma$", не содержат никаких букв.

То что интеграл определенный в первом из приведенных мной цитат из книги и то, что $N$, $Z$ суть натуральные и целые числа соответственно для моего понимания причины (того что они не содержат букв) слишком зыбкая и слабая интуитивная догадка.

Неформально $N$ множество натуральных чисел. Формально это символ, обозначающий некоторое знакосочетание, не содержащее букв. Следовательно, $N$ обозначает «последовательность знаков этой теории, написанных рядом друг с другом, ...», но без букв. Я не прошу написать это знакосочетание, но хотелось бы увидеть знаки и расшифровать для данного случая «этой теории» (какой?). Френкель делал это так {O, {O}, { O, {O}}, {O, {O}, { O, {O}}}, …} Страница 109. Уберем запятые (они только для читаемости) остались знаки «{»,«}», «O» (надо заменить на другой знак – буквы не допускаются) и, видимо, нет многоточия, а есть бесконечная последовательность знаков (конечности последовательности знаков в определении нет).

[zkutch]

Цитата:

... Я не прошу написать это знакосочетание, но хотелось бы увидеть знаки и расшифровать для данного случая ...

Давно, в свое время, я попытался выписать формулу для множества натуральных чисел, не знаю насколько удачно тогда получилось. Сейчас не могу найти, но еще поищу и обязательно выложу, если найду. А начинал, если это поможет, от стр.221-222 и естественно от определения 1 на 197стр.

[creative]

zkutch в сообщении #433045 писал(а):

Ответ на В1 положительный в общем смысле, но сам конкретно ваш пример меня немного смущает.

Да, я согласен, пример не очень, хотел подобрать, что-то нейтральное. В общем с этим моментом думаю на данном этапе достаточно понимания.

zkutch в сообщении #433045 писал(а):

В2 - на стр.40 в главе 1 это §2 1. Аксиомы $1^{0} $

Да, вижу. Можно сказать, что на данном этапе с буквами я разобрался и текущей информации о буквах и символах достаточно, чтобы идти дальше.

Я разберусь с оставшимся в § 1 пунктом 4 "Формативные критерии" и дальше напишу здесь ответы на упражнения или вопросы относительно самих вопросов в упражнениях.

Если успею, то сегодня, если нет, то завтра.

[Виктор Викторов]

«Интуитивно, термы – это знакосочетания, изображающие объекты (предметы)». Термы по Мендельсону, естественно, тоже объекты (подставляются в предметные переменные и константы, функциональная буква, примененная к термам, терм). В чём содержательный смысл формативного критерия CF3? «CF3. Если $A$ - соотношение теории $\mathcal{T}{,}$ а $x$ -буква, то $\tau_x(A)$ есть терм теории $\mathcal{T}{.}$» Страница 37. Мы заменили все $x$ квадратиками, поставили $\tau $ первым знаком и соединили его связью с каждым квадратиком. Почему это терм? И какой смысл мы вкладываем в эту операцию?

[zkutch]

Виктор Викторов в сообщении #433754 писал(а):

«Интуитивно, термы – это знакосочетания, изображающие объекты (предметы)». Термы по Мендельсону, естественно, тоже объекты (подставляются в предметные переменные и константы, функциональная буква, примененная к термам, терм). В чём содержательный смысл формативного критерия CF3? «CF3. Если $A$ - соотношение теории $\mathcal{T}{,}$ а $x$ -буква, то $\tau_x(A)$ есть терм теории $\mathcal{T}{.}$» Страница 37. Мы заменили все $x$ квадратиками, поставили $\tau $ первым знаком и соединили его связью с каждым квадратиком... И какой смысл мы вкладываем в эту операцию?

смысл описан на стр.36 в замечании мелким шрифтом об условии г), т.е. там же откуда ваша первая цитата - я уже писал раньше в этой ветке, посмотрите пожалуйста, может написанное там вам тоже пригодится. И давайте еще раз: считается, что мы можем "выбирать" из существующих объектов, т.н. сильный выбор. Допустим знакосочетание второго рода $B$ описывает свойство объекта х, которое встречается в этом знакосочетании. Если существует несколько объектов таких, что при подстановке вместо х они дают истинное $B$, то мы "выбираем" один из них, называем "привилегированным" и обозначаем $\tau_x(B)$.

Цитата:

Почему это терм?

- по определению терма 35стр.

[Виктор Викторов]

Мелкий шрифт до меня, наконец, дошёл. Это прообраз кванторов со связанными переменными.
А вот здесь

zkutch в сообщении #433879 писал(а):

Цитата:

Почему это терм?

- по определению терма 35стр.

я плохо сформулировал вопрос. Конечно, по определению. $\tau_x(A)$ имеет своим прообразом высказывание. Итак, каждое высказывание терм?

[zkutch]

Виктор Викторов в сообщении #433883 писал(а):

я плохо сформулировал вопрос. Конечно, по определению. $\tau_x(A)$ имеет своим прообразом высказывание. Итак, каждое высказывание терм?

Вернее я плохо ответил. В вашем тексте под "высказывание" вы подразумеваете знакосочетание $A$, но это, в нашей ситуации, знакосочетание второго рода т.е. термом оно быть не может. Вы наверняка что-то другое хотите спросить.

[Виктор Викторов]

Нет, это я плохо сформулировал. По Мендельсону терм предметная переменная, предметная константа и результат функции примененный к термам (но не формула или в терминологии Бурбаки знакосочетание второго рода). Так вот, не формула (в смысле Мендельсона), а высказывание (без переменных или со связанными переменными) есть терм? Пример: По любому икс икс квадрат неотрицателен.

[zkutch]

Виктор Викторов в сообщении #433892 писал(а):

Так вот, не формула (в смысле Мендельсона), а высказывание (без переменных или со связанными переменными) есть терм?

Ваш вопрос по Бурбакам или по Мендельсону?

[Виктор Викторов]

Меня интересует осмысленность термина «терм» (грубо говоря, зачем этот термин нужен?). То, что я понял из Мендельсона звучит так: терм – это то, куда можно подставить элементы из области интерпретации. Этот же смысл, как мне кажется, сохраняется и у Бурбаки. Но по Бурбаки получается, что и высказывание (без переменных или со связанными переменными в смысле Мендельсона) терм. Я хочу понять соотношение между термом Бурбаки и термом Мендельсона.

[creative]

zkutch

Любое корректное знакосочетание теории $\mathcal{T}$ есть последнее знакосочетание в последовательности называемой формативной конструкцией. Каждый член формативной конструкции удовлетвореяет одному из условий данных в п. 3 на стр 35.
А так же верно то, что любой член формативной конструкции есть корректное знакосочетание.

Два вопроса относительно данных в п. 4 "Формативные критерии" критериев:

В доказательстве CF6, что если $\boldsymbol{A}_{\boldsymbol{i}}$ имеет вид $\tau_{\boldsymbol{z}}(\boldsymbol{A}_{\boldsymbol{j}})$ и они оба есть члены формативной конструкции, то и $(\boldsymbol{y}|\boldsymbol{x})\boldsymbol{A}_{\boldsymbol{i}}$ имеет вид $\tau_{\boldsymbol{z}}((\boldsymbol{y}|\boldsymbol{x})\boldsymbol{A}_{\boldsymbol{j}})$ и $(\boldsymbol{y}|\boldsymbol{x})\boldsymbol{A}_{\boldsymbol{i}}$ и $\tau_{\boldsymbol{z}}((\boldsymbol{y}|\boldsymbol{x})\boldsymbol{A}_{\boldsymbol{j}})$ члены другой формативной конструкции. В пункте в) (на стр. 37), где $\boldsymbol{z}$ тождественно с $\boldsymbol{y}$, для $\boldsymbol{A}_{\boldsymbol{i}}', A_{\boldsymbol{j}}'$ они рассматривают не $\tau_{\boldsymbol{z}}$ (или что в этом пункте аналогично $\tau_{\boldsymbol{y}})$, а $\tau$ с другой буквой.

В1: Почему в пункте в) они рассматривают другую букву?

Пока не понимаю, чем CF7 отличается от CF6.
В2: В чем необходимость CF7 если доказано CF6?

[creative]

Распишу В1 подробней (вдруг и сам пойму пока буду писать):

п. 3 "Формативные конструкции", условие (г):

Цитата:

существует знакосочетание второго рода $\boldsymbol{B}$, предшествующее $\boldsymbol{A}$, и буква $\boldsymbol{x}$, такие, что $\boldsymbol{A}$ есть $\tau_{\boldsymbol{x}}(\boldsymbol{B})$;

п. 4 "Формативные критерии", CF6:

Цитата:

CF6. Пусть $\boldsymbol{A}_1, \boldsymbol{A}_2, ..., \boldsymbol{A}_n$ - формативная конструкция теории $\mathscr{T}$, а $\boldsymbol{x}$ и $\boldsymbol{y}$ - буквы. Предположим, что $\boldsymbol{y}$ не встречается в этих $\boldsymbol{A}_i$. Тогда $(\boldsymbol{y}|\boldsymbol{x})\boldsymbol{A}_1, (\boldsymbol{y}|\boldsymbol{x})\boldsymbol{A}_2, ..., (\boldsymbol{y}|\boldsymbol{x})\boldsymbol{A}_n$ есть формативная конструкция теории $\mathscr{T}$.
В самом деле, пусть $\boldsymbol{A}_i'$ - знакосочетание $(\boldsymbol{y}|\boldsymbol{x})\boldsymbol{A}_i$.
...
Если, наконец, $\boldsymbol{A}_i$ имеет вид $\tau_{\boldsymbol{z}}(\boldsymbol{A}_j)$, где $\boldsymbol{A}_j$ - знакосочетание второго рода, предшествующее $\boldsymbol{A}_i$ в конструкции, то возможно несколько случаев:

Итак насколько я понимаю в общем случае тут требуется доказать, что $(\boldsymbol{y}|\boldsymbol{x})\tau_{\boldsymbol{z}}(\boldsymbol{A}_j)$ тождественно $\tau_{\boldsymbol{z}}((\boldsymbol{y}|\boldsymbol{x})\boldsymbol{A}_j)$.

Далее расписываю случай (в) своими словами:

$\boldsymbol{z}$ тождественно с $\boldsymbol{y}$; тогда $\tau_{\boldsymbol{y}}(\boldsymbol{A}_j)$ тождественно с $\tau\boldsymbol{A}_j$; следовательно, $(\boldsymbol{y}|\boldsymbol{x})\tau_{\boldsymbol{y}}(\boldsymbol{A}_j)$ тождественно с $(\boldsymbol{y}|\boldsymbol{x})\tau\boldsymbol{A}_j$, а это тождественно $\tau(\boldsymbol{y}|\boldsymbol{x})\boldsymbol{A}_j$, которое можно записать в виде $\tau_{\boldsymbol{u}}((\boldsymbol{y}|\boldsymbol{x})\boldsymbol{A}_j)$, где $\boldsymbol{u}$ - буква, не встречающаяся в $\boldsymbol{A}_j'$;
(!!!) но из этого не следует, что $(\boldsymbol{y}|\boldsymbol{x})\tau_{\boldsymbol{y}}(\boldsymbol{A}_j)$ тождественно $\tau_{\boldsymbol{y}}((\boldsymbol{y}|\boldsymbol{x})\boldsymbol{A}_j)$.

Проблема собственно начинается с места помеченного (!!!). Отсюда и вопрос В1.

[JMH]

creative в сообщении #434202 писал(а):

$\boldsymbol{z}$ тождественно с $\boldsymbol{y}$; тогда $\tau_{\boldsymbol{y}}(\boldsymbol{A}_j)$ тождественно с $\tau\boldsymbol{A}_j$; следовательно, $(\boldsymbol{y}|\boldsymbol{x})\tau_{\boldsymbol{y}}(\boldsymbol{A}_j)$ тождественно с $(\boldsymbol{y}|\boldsymbol{x})\tau\boldsymbol{A}_j$, а это тождественно $\tau(\boldsymbol{y}|\boldsymbol{x})\boldsymbol{A}_j$

Это неверно. $y$ не встречается в $A_j$, что, грубо говоря, означает $\tau_y(A_j)=\tau A_j=A_j$. Возвращаясь с своей упрощенной манере чтения: т.к. $A_j$ не содержит $y$, иначе говоря не зависит от $y$, то $A_j$ имеет место для любых $y$.

[creative]

JMH в сообщении #434227 писал(а):

creative в сообщении #434202 писал(а):

$\boldsymbol{z}$ тождественно с $\boldsymbol{y}$; тогда $\tau_{\boldsymbol{y}}(\boldsymbol{A}_j)$ тождественно с $\tau\boldsymbol{A}_j$; следовательно, $(\boldsymbol{y}|\boldsymbol{x})\tau_{\boldsymbol{y}}(\boldsymbol{A}_j)$ тождественно с $(\boldsymbol{y}|\boldsymbol{x})\tau\boldsymbol{A}_j$, а это тождественно $\tau(\boldsymbol{y}|\boldsymbol{x})\boldsymbol{A}_j$

Это неверно. $y$ не встречается в $A_j$, что, грубо говоря, означает $\tau_y(A_j)=\tau A_j=A_j$. Возвращаясь с своей упрощенной манере чтения: т.к. $A_j$ не содержит $y$, иначе говоря не зависит от $y$, то $A_j$ имеет место для любых $y$.

Непонятно, как в $\tau_{\boldsymbol{y}}(\boldsymbol{A}_j)=\tau \boldsymbol{A}_j=\boldsymbol{A}_j$ пропадает знак $\tau$. Хотя $\boldsymbol{y}$ не встречается в $\boldsymbol{A}$, но сам знак $\tau$ остается же слева от знакосочетания $\boldsymbol{A}$. Если этот знак не остается, то где в тексте такая договоренность?

И предположим это действительно так, но всё равно непонятно, мы же доказывали исключительно тождественность $(\boldsymbol{y}|\boldsymbol{x})\tau_{\boldsymbol{z}}(\boldsymbol{A}_j)$ и $\tau_{\boldsymbol{z}}((\boldsymbol{y}|\boldsymbol{x})\boldsymbol{A}_j)$. Но почему-то потом как-то все стало странно с этой сменой буквы. Как я показал выше (после (!!!)) возникает противоречие.