Для начала давайте рассмотрим только счетные множества. Все просто и легко представимо. Выглядит это так:

А теперь я картинку слегка подпорчу:

- и это вполне упорядочение, но другое. А вот третье --

. Каждому вполне упорядочению «выдано» по порядковому числу (ординалу). И естественно можно рассмотреть множество ординалов. Ординалы конечных множеств Вам хорошо знакомы 1, 2, 3 и т. д. Первый бесконечный ординал

-- это ординал множества

Вы уже догадались, что ординал множества

выглядит так

А ординал множества

--

Множество всех ординалов меньше данного (важно!) ординала можно и само вполне упорядочить (по величине). Возьмем к примеру ординал

Как выглядит множество с таким ординалом? Да так и выглядит:

А как выглядит множество ординалов меньших ординала

А вот так:

Заметьте, что

в это множество не входит. Ну а отрезки этого множества? А вот они

Возникает интересный вопрос: «А сколько всего вариантов вполне упорядочения счетного множества?» или иначе сколько существует счетных ординалов? Ответ на этот вопрос дан теоремой 17 на странице 69 книги П. С. Александрова «Введение в теорию множеств и общую топологию» (докажите её при случае). Счетных ординалов континуум! Теперь, напрягите воображение и, хотя уютно представлять ординалы счетной последовательностью, представим себе все счетные ординалы выстроенные один за одним. А что после них? Их (счетных ординалов) сколько? Континуум. А за ними идет первый несчетный ординал

Его хорошо себе представить как ординал множества всех счетных ординалов и, конечно, каждый отрезок (ведь

первый несчетный ординал) множества всех счетных ординалов счетный ординал.