G-функция Мейера

[ecartman]

Добрый день! Это продолжение моего раннего вопроса: topic43790.html

Мне удалось чуть чуть продвинуться, но возникли другие грабли. Напомню и конкретизирую суть главного вопроса.
Пусть $X_1,X_2,\ldots,X_n$ - последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин, плотнотость распределения каждой из которых следующая:

$$ f_X(x)=\frac{x^{c-1}(1+x)^{-1-2c}}{\mathtt{B}(c,c+1)} I(x>0), $$

где $c>0$, и $\mathtt{B}(\cdot,\cdot)$ - Бета функция; $f_X(x)$ - это плотность соответствующая Бета распределению второго рода (см. http://en.wikipedia.org/wiki/Beta%20pri ... stribution) с параметрами $c$ и $c+1$. Конечная цель состоит в том, чтобы вычислить сумму:

$$ \sum_{k=1}^\infty \frac{P(S_k>0)}{k}, $$

где $S_k=\sum_{j=1}^k \log X_j$, $k\ge1$.

Пытаюсь решить задачу прямо. Пусть $k\ge1$ фиксировано. Тогда, поскольку

$$ P(S_k>0)=P\left(\prod_{j=1}^k X_j>1\right), $$

то задача сводится к нахождению плотности распределения случайной величины $Y=\prod_{j=1}^k X_j$. На эту тему есть насколько статей, все они используют т.н. Mellin transform (см. http://en.wikipedia.org/wiki/Mellin_transform), независимость $X_1,\ldots,X_k$, и следующее свойство каждой $X_j$ как сл.в. с Бета распределением второго рода с параметрами $c$ и $c+1$:

$$ \mathbb{E}[X_i^s]=\frac{\mathtt{B}(c+s,c+1-s)}{\mathtt{B}(c,c+1)}. $$

В результате, плотность распределения случайной величины $Y=\prod_{j=1}^k X_j$ оказывается:

$$ g_Y(y)=\frac{1}{\Gamma^k(c)\Gamma^k(c+1)}G_{k,k}^{k,k}\left(y\left|\begin{array}{c}-1-c,\ldots,-1-c\\ c-1,\ldots,c-1\end{array}\right.\right), $$

где $G$ - это $G$-функция Мейера (см. http://en.wikipedia.org/wiki/Meijer_G-function) с соответствующими параметрами, и $\Gamma(x)$ - Гамма функция.

Далее, используя определенные свойства этой функции (которые можно найти в любом справочнике или на той же странице в Wikipedia), можно заключить:

$$ \sum_{k=1}^\infty \frac{P(S_k>0)}{k}= \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k \Gamma^k(c)\Gamma^k(c+1)} G_{k+1,k+1}^{k+1,k}\left(1\left|\begin{array}{c} -c,\ldots,-c,1\\ 0,c,\ldots,c\end{array}\right.\right). $$

Это фактически и есть ответ. Однако, можно ли как-нибудь упростить эту сумму? Например, если бы знать, что $G$ в сумме есть $k$-ая степень какой-то константы (которая зависит от $c$), то сумма сводилась бы ряду Тейлора для $\log(1-x)$. Проблема в том, что контурный интеграл в функции $G$ берется от функции у которой полюса имеют кратность отличную от 1 и сложные. Может быть кто-нибудь работал уже с $G$ функцией, и может как-то помочь в упрощении этой суммы?

Все конечно хорошо, сумму можно вычислить численно. Но $G$-функция оказывается очень капризная, например пакет Mathematica хотя и предоставляет возможность с ней работать, как оказалось, далеко не всегда ее правильно считает. А пакет MATLAB и вовсе ее не предоставляет. Потому и хотелось бы упростить эту сумму, чтобы ее сделать более удобной для практический вычислений.

Спасибо за помощь!

[Vince Diesel]

Известно ли, что ряд будет сходиться? А то, может, там и считать нечего

[ecartman]

Vince Diesel в сообщении #432670 писал(а):

Известно ли, что ряд будет сходиться? А то, может, там и считать нечего

Ряд, конечно, сходится.

[Vince Diesel]

Если, как написано,

$$ P(S_k>0)= \frac{1}{ \Gamma^k(c)\Gamma^k(c+1)} G_{k+1,k+1}^{k+1,k}\left(1\left|\begin{array}{c} -c,\ldots,-c,1\\ 0,c,\ldots,c\end{array}\right.\right), $$

то математика для функций Мейера дает (после преобразований)

$$P(S_1>0)=\frac12\left(1-\frac1\pi B\left(\frac12,c+\frac12\right)\right). $$

Гипотеза:

$$ P(S_2>0)=\frac12\left(1-\frac{4^c}\pi \frac{B(c+\frac12,c+\frac12)B(c,c+\frac12)}{B(c,c+1)}\right). $$

Эти равенства наыводят на мысль, что можно получить и общую формулу. Только она может оказаться достаточно сложной. При $k=3,4$, похоже, будет по 3 слагаемых, при $k=5,6$ по 4 и т.д.

[ecartman]

А "математика" - это wolfram mathematica? У меня версия 7.0.1, но она мне таких формул не дает.
Я честно говоря не большой знаток этого пакета, как образом Вы делаете символьные вычисления?

Спасибо!

[Vince Diesel]

У меня 8.0.

f[n_, c_]:=MeijerG[{Table[-c, {k, n}], {1}}, {Prepend[Table[c, {k, n}], 0], {}}, 1]/(Gamma[c]Gamma[c + 1])^n
f[1, c] // FullSimplify

дает $\displaystyle \frac{1}{2}-\frac{\Gamma \left(c+\frac{1}{2}\right)}{2 \sqrt{\pi } \Gamma (c+1)} $.

[ecartman]

Vince Diesel в сообщении #433075 писал(а):

У меня 8.0.

f[n_, c_]:=MeijerG[{Table[-c, {k, n}], {1}}, {Prepend[Table[c, {k, n}], 0], {}}, 1]/(Gamma[c]Gamma[c + 1])^n
f[1, c] // FullSimplify

дает $\displaystyle \frac{1}{2}-\frac{\Gamma \left(c+\frac{1}{2}\right)}{2 \sqrt{\pi } \Gamma (c+1)} $.

Поставил себе 8.0.1, но она упрощает лишь когда $n=1$. Однако, уже для $n=2$, она просто дублирует формулу. Может где-то что-то нужно настроить? Спасибо!

[Vince Diesel]

У меня тоже не упрощает Это догадка по наблюдениям за частными случаями, проверенная на некоторых других частных случаях