Имена множеств - множества ?

[buk]

Идея появилась при просмотре темы:

creative в сообщении #425872 писал(а):

Определим множество $A$, которое содержит все те множества имя которых определено как гласная латинская буква. Соответственно это множество содержит себя в качестве элемента, так как его имя дано гласной латинской буквой $A$.

Размышления завели слишком далеко, поэтому в отдельной теме.
Мысль интересная, но как ее реализовать ?
Допустим (лемма), каждому символу и слову ZFC можно сопоставить строку из символов $\{,\}$, которая является множеством (как элемент модели ZFC).
Обозначим множество таких строк $G$.
Вроде как, должна существовать строка выражающее истинную, но не доказуемую в ZFC формулу ?
Хотя это в данном случае не существенно, т.к. любая строка, с одной стороны - имя формулы ZFC(обозначим ее $G_x$), с другой - она сама множество (по лемме), обозначим его $X$. Т.к. каждая формула выражает свойство $\Psi$, по схеме выделения, есть и множество $M_x=\{x\in G : \Psi(x)\}$.
По определению, $G_x \in G$, и по ZFC ($G$ - модель) $M_x \subseteq G$, остается разобраться, может ли $x=G$.
Т.е. является ли $G$ - строкой из $G$ или чего больше имен (формул) или множеств ? Предположим, "безымянные" множества
не существуют, тогда, т.к. $G$ - имя множества всех поименованных множеств, то $G \in G$, т.е. аксиома регулярности ложна. Обратное ведет к худшему. Т.к. формулы вида $\neg\exists x (x \in x)$ по определению в $G$ все они не могут быть равны $\{x \in G : x\in x\}=\varnothing$ (имена не совпадают по определению множества $G$), таким образом, пустое множество не единственно, а это уже рушит саму логику (и ZFC с ней). Не менее худшее - отрицать $G$ т.е. существование модели.

[Someone]

Объектами ZFC являются множества. Имена множеств объектами ZFC не являются, поэтому мы не можем в ZFC определить "множество тех множеств, имена которых...". В частности, множество $G$ не является объектом ZFC, это объект той (мета)теории, в которой определены алфавит и синтаксис ZFC.

[cognize]

Теория множеств - это исчисление предикатов, дополненное связками $\in$ и $=$ и аксиомами ZFC (NBG). Все, что не является и не может являться, даже при сильном желании, её термом, не имеет к ней никакого отношения.

[buk]

cognize в сообщении #433465 писал(а):

Теория множеств - это исчисление предикатов, дополненное связками $\in$ и $=$ и аксиомами ZFC (NBG). Все, что не является и не может являться, даже при сильном желании, её термом, не имеет к ней никакого отношения.

"… Все, что не является и не может являться, даже при сильном желании, её термом, не имеет к ней никакого отношения."
Модель у нее должна быть или это не обязательно ?
Множества то к ней отношение имеют ?

Someone в сообщении #433410 писал(а):

Объектами ZFC являются множества. Имена множеств объектами ZFC не являются, поэтому мы не можем в ZFC определить "множество тех множеств, имена которых...". В частности, множество $G$ не является объектом ZFC, это объект той (мета)теории, в которой определены алфавит и синтаксис ZFC.

"Объектами ZFC являются множества. Имена множеств объектами ZFC не являются…"
Я считаю, это рассуждение просто метааналог аксиомы регулярности, а если считать, что метатеория - сама ZFC, то это она и есть. Может быть у Вас есть более конкретный ответ и доказательство основано на чем то другом ?
"…мы не можем в ZFC определить "множество тех множеств, имена которых...".
Конечно не можем, т.к. внутри ZFC нельзя отличить множества от имен, все объекты – множества, ни элементов, ни атомов, ни классов, нет (разве что пустое множество выделено). Зато мы можем отличить их в метатеории, которой, кстати, ZFC быть не может, т.к. не различает их.
"… В частности, множество $G$ не является объектом ZFC, это объект той (мета)теории, в которой определены алфавит и синтаксис ZFC."
Алфавит и синтаксис теории и метатеории может совпадать. В этом случае никак не получится внутри ZFC (будь то теория или метатеория) определить с чем она имеет дело. Используйте ZFC в качестве метатеории для ZFC и получится, либо противоречие аксиоме регулярности, либо тому, что все объекты ZFC - множества. Других противоречий не будет. Т.е. чтобы использовать ZFC как метатеорию для ZFC придется пожертвовать аксиомой регулярности и только.
Собственно первый пост именно об этом.

Еще раз чуть подробней.
1.Строками в алфавите $<\{,\}>$ строится модель ZFC. Т.е. каждая такая строка - множество.
2.Задается способ отображения синтаксиса ZFC в алфавит $<\{,\}>$.
Например, нумеруем каждый символ алфавита ZFC натуральным числом. Каждый номер однозначно переводится в алфавит $<\{,\}>$ как элемент минимального индуктивного множества. Соответственно, формулы в алфавите $<\{,\}>$ строятся вполне конструктивно, как объединение строк, каждая из которых соответствует символу алфавита ZFC по указанной нумерации. Каждая такая строка - конечное множество. Счетное объединение счетных множеств счетно, т.е. биективно $\omega$.
3. Имеем $\omega$ - счетное множество строк, каждая из которых - конечное множество, соответствующее конечному множеству, выражающему правильное слово в синтаксисе ZFC.
4. Можно задать имя для этого множества, которое записано в алфавите $<\{,\}>$ и заведомо находится в построенном множестве, но и $\omega$, записанная в этом алфавите уже находится там.

P.S. Полагаю, эта попытка критики аксиомы регулярности, не воспринимается Вами, как критика остальных аксиом ZFC.

[Someone]

buk в сообщении #433715 писал(а):

Модель у нее должна быть или это не обязательно ?

Модель у неё должна быть, но теория про свою модель ничего не знает и доступа к ней не имеет. Утверждения, доказуемые в теории, истинны во всех её моделях.

buk в сообщении #433715 писал(а):

"Объектами ZFC являются множества. Имена множеств объектами ZFC не являются…"
Я считаю, это рассуждение просто метааналог аксиомы регулярности, а если считать, что метатеория - сама ZFC, то это она и есть.

Нет. Во-первых, никто Вас не заставляет принимать аксиому регулярности (К.Куратовский, А.Мостовский. Теория множеств. "Мир", Москва, 1970; в этой книге строится теория множеств без аксиомы регулярности). Во-вторых, доказано, что если противоречива ZF с аксиомой регулярности, то ZF без аксиомы регулярности тоже противоречива, поэтому аксиома регулярности не может быть причиной противоречий. И, наконец, в третьих, ZFC-теория и ZFC-метатеория - это разные ZFC.

Вы почему-то никак не врубитесь. Прежде, чем мы начнём строить некоторую формализованную теорию T, мы должны уже иметь некоторую теорию T', которую можно было бы использовать в качестве метатеории. Теория T' может быть формализованной или неформализоыванной. Если T' формализованная, значит, у нас должна быть теория T", в которой мы осуществили формализацию T', и так далее. Где-то мы должны остановиться и ограничиться неформализованной теорией.
Формализация теории T состоит в том, что мы в теории T' определяем алфавит и синтаксис теории T, а также её аксиомы. При этом формулы и доказательства теории T оказываются объектами теории T', и мы можем в теории T' доказывать различные теоремы об этих формулах и доказательствах, это и есть метатеоремы. Мы также можем в теории T' построить модель теории T и каким-то образом использовать эту модель в доказательствах метатеорем (например, для доказательства недоказуемости какого-нибудь утверждения теории T).
Однако сама теория T ничего не знает ни о метатеории T', ни о её объектах, в частности, не может каким-то образом использовать ссылки на свои формулы как на свои объекты.

buk в сообщении #433715 писал(а):

внутри ZFC нельзя отличить множества от имен

Внутри ZFC нет никаких имён. С именами множеств имеет дело не ZFC, а субъект, который пишет формулы и составляет из них доказательства. "Внутри" же подразумеваются некие объекты, которые мы привыкли называть множествами.

buk в сообщении #433715 писал(а):

Используйте ZFC в качестве метатеории для ZFC и получится

Ничего не получится. От того, что обе теории T и T' мы соизволили обозвать "ZFC", они не перестанут быть разными теориями.

buk в сообщении #433715 писал(а):

Полагаю, эта попытка критики аксиомы регулярности, не воспринимается Вами, как критика остальных аксиом ZFC.

А зачем Вам нужно критиковать аксиому регулярности? Не нравится она Вам - не пользуйтесь. Вон Куратовский с Мостовским обошлись же.

[buk]

Someone в сообщении #433984 писал(а):

buk в сообщении #433715 писал(а):

Модель у нее должна быть или это не обязательно ?

Модель у неё должна быть, но теория про свою модель ничего не знает и доступа к ней не имеет. Утверждения, доказуемые в теории, истинны во всех её моделях.

Совершенно верно.

Someone в сообщении #433984 писал(а):

buk в сообщении #433715 писал(а):

"Объектами ZFC являются множества. Имена множеств объектами ZFC не являются…"
Я считаю, это рассуждение просто метааналог аксиомы регулярности, а если считать, что метатеория - сама ZFC, то это она и есть.

Нет. Во-первых, никто Вас не заставляет принимать аксиому регулярности (К.Куратовский, А.Мостовский. Теория множеств. "Мир", Москва, 1970; в этой книге строится теория множеств без аксиомы регулярности).
Во-вторых, доказано, что если противоречива ZF с аксиомой регулярности, то ZF без аксиомы регулярности тоже противоречива, поэтому аксиома регулярности не может быть причиной противоречий. И, наконец, в третьих, ZFC-теория и ZFC-метатеория - это разные ZFC.

"Во-первых, никто Вас не заставляет принимать аксиому регулярности (К.Куратовский, А.Мостовский. Теория множеств. "Мир", Москва, 1970; в этой книге строится теория множеств без аксиомы регулярности)"
Благодарю, посмотрим.
"Во-вторых, доказано, что если противоречива ZF с аксиомой регулярности, то ZF без аксиомы регулярности тоже противоречива, поэтому аксиома регулярности не может быть причиной противоречий.
Это интересно и даже забавно. Простите, не знаком с этим доказательством.
Любая теория без какой-либо аксиомы является более общей теорией. В расширении, где добавляются какие-либо аксиомы, теория может стать противоречивой. Но уж никак не наоборот. Никакие дополнительные аксиомы не устранят противоречие в теории, если оно уже есть.
Другими словами, если ZFC без аксиомы регулярности не противоречива, то с ней она может быть противоречива или нет. Но из того, что ZFC с аксиомой регулярности противоречива, никак не следует, что без нее она тоже противоречива. Если только в доказательстве сама эта аксиома не используется явно или неявно .

"И, наконец, в третьих, ZFC-теория и ZFC-метатеория - это разные ZFC."
Конечно, при желании, мы можем различить их объекты - в нашей неформальной метатеории.
Вы почему-то никак не врубитесь. Внутри любой ZFC (хоть теории, хоть метатеории, хоть мета-метатеории) есть только множества, множества, множества... И "внутри" любой из них никак не отличить, что это за объект и какого он уровня. На нем просто выполняются аксиомы и все. Это в нашей метатеории объекты ZFC-теории и ZFC-метатеории можно разделить по уровням, пометить. Внутри же все они множества, множества, и только множества и в ZFC и в ZFC` и в `ZFC …

(Оффтоп)

Остальное не комментирую - банально, верно и не по существу.
Будет конструктивней, если Вы выскажетесь по пунктам (1-4).

[Someone]

buk в сообщении #434171 писал(а):

Любая теория без какой-либо аксиомы является более общей теорией. В расширении, где добавляются какие-либо аксиомы, теория может стать противоречивой. Но уж никак не наоборот. Никакие дополнительные аксиомы не устранят противоречие в теории, если оно уже есть.
Другими словами, если ZFC без аксиомы регулярности не противоречива, то с ней она может быть противоречива или нет. Но из того, что ZFC с аксиомой регулярности противоречива, никак не следует, что без нее она тоже противоречива.

Безусловно. В общем случае это так и есть: добавление новых аксиом может непротиворечивую теорию превратить в противоречивую, а если теория противоречива, то добавление новых аксиом это противоречие не ликвидирует.
Но что касается конкретной теории ZF без аксиомы выбора и аксиомы регулярности, то здесь доказано: если ZF без указанных аксиом непротиворечива, то добавление их в любой комбинации (по отдельности или вместе) даёт непротиворечивую теорию. Доказательство "очень просто": класс всех конструктивных множеств является моделью ZF, в которой выполняются аксиома регулярности, аксиома выбора и [GCH]. (Термин "конструктивное множество" здесь не имеет ни малейшего отношения к конструктивной математике.)

buk в сообщении #434171 писал(а):

Внутри любой ZFC (хоть теории, хоть метатеории, хоть мета-метатеории) есть только множества, множества, множества...

Разумеется. Объекты ZFC по определению называются "множествами", независимо от того, что это есть "на самом деле". Точно так же элементы линейного пространства называются "векторами" независимо от их природы.

buk в сообщении #434171 писал(а):

И "внутри" любой из них никак не отличить, что это за объект и какого он уровня.

В каждой теории есть объекты только "её" уровня. Про объекты других теорий она ничего не знает. Метатеория может построить модель той предметной теории, которую она описывает, но она всё равно будет иметь дело со своими объектами, а не с объектами предметной теории. Предметная же теория про эту модель (да и про любую другую свою модель) вообще ничего не знает и работать с входящими в неё объектами метатеории не может (в применении к данной модели предметная теория работает с ними как со своими объектами, а не как с объектами метатеории).

buk в сообщении #434171 писал(а):

Будет конструктивней, если Вы выскажетесь по пунктам (1-4).

А там нечего комментировать. Ну, построили Вы синтаксическую модель ZFC. И что? В Ваших T' и T даже пустые множества разные: та "строка" теории T', которая изображает пустое множество теории T, сама вовсе не является пустым множеством теории T'. И отношения $\in_{T'}$ и $\in_T$ совершенно разные. И определить в теории $T$, какой именно объект теории T' изображает пустое множество, нельзя. Теория T может определять свои множества, а множества теории T' она определять не может.

Вообще, мне так и непонятно, к чему Вы стремитесь, пытаясь "перемешать" предметную теорию и метатеорию.

[buk]

Someone в сообщении #434212 писал(а):

buk в сообщении #434171 писал(а):

Будет конструктивней, если Вы выскажетесь по пунктам (1-4).

А там нечего комментировать. Ну, построили Вы синтаксическую модель ZFC. И что? В Ваших T' и T даже пустые множества разные: та "строка" теории T', которая изображает пустое множество теории T, сама вовсе не является пустым множеством теории T'. И отношения $\in_{T'}$ и $\in_T$ совершенно разные. И определить в теории $T$, какой именно объект теории T' изображает пустое множество, нельзя. Теория T может определять свои множества, а множества теории T' она определять не может.

Я немного запутался в Ваших (они не мои) теориях T и T`. Какая из них какая ?
Метатеория, в которой строилась синтаксическая модель ZFC - это не ZFC - я различал объекты разного уровня.
Заключаю, что Ваши Т и Т` не о ней.
Есть множество $G$ (п.1) его подмножествами могут являться Ваши T и T` (множества синтаксически правильных формул ZFC), а так же Т и Т`(элементы $G$).
$G$ является элементом и подмножеством $G$.
Так какое "Т" – теория, а какое - метатеория ?

(Оффтоп)

Someone в сообщении #434212 писал(а):

Вообще, мне так и непонятно, к чему Вы стремитесь, пытаясь "перемешать" предметную теорию и метатеорию.

Может к общности ? полноте ? переосмыслению равенства ? противоречию ? эстетическому удовлетворению ? Я не знаю, куда это ведет.

[Someone]

buk в сообщении #434526 писал(а):

Someone в сообщении #434212 писал(а):

buk в сообщении #434171 писал(а):

Будет конструктивней, если Вы выскажетесь по пунктам (1-4).

А там нечего комментировать. Ну, построили Вы синтаксическую модель ZFC. И что? В Ваших T' и T даже пустые множества разные: та "строка" теории T', которая изображает пустое множество теории T, сама вовсе не является пустым множеством теории T'. И отношения $\in_{T'}$ и $\in_T$ совершенно разные. И определить в теории $T$, какой именно объект теории T' изображает пустое множество, нельзя. Теория T может определять свои множества, а множества теории T' она определять не может.

Я немного запутался в Ваших (они не мои) теориях T и T`. Какая из них какая ?

По-моему, я достаточно однозначно выразился: T' - метатеория, T - предметная теория. T' должна уже существовать до того, как Вы начнёте строить T.

buk в сообщении #434526 писал(а):

Метатеория, в которой строилась синтаксическая модель ZFC - это не ZFC - я различал объекты разного уровня.
Заключаю, что Ваши Т и Т` не о ней.

Да не важно, что именно за теории T' и T. Важно только отношение между ними: T' есть метатеория для T. Алфавит, синтаксис, аксиомы, правила вывода теории T определены в теории T'. Напротив, теория T о T' ничего не знает.

buk в сообщении #434526 писал(а):

Есть множество $G$ (п.1) его подмножествами могут являться Ваши T и T`

Откуда взялось множество $G$, если у Вас метатеория - не теория множеств?

buk в сообщении #434526 писал(а):

(множества синтаксически правильных формул ZFC), а так же Т и Т`(элементы $G$).
$G$ является элементом и подмножеством $G$.
Так какое "Т" – теория, а какое - метатеория ?

После того, как Вы всё смешали в одну кучу, да ещё приплели неизвестно откуда взявшееся множество, понять уже ничего нельзя.

buk в сообщении #434526 писал(а):

Someone в сообщении #434212 писал(а):

Вообще, мне так и непонятно, к чему Вы стремитесь, пытаясь "перемешать" предметную теорию и метатеорию.

Может к общности ? полноте ? переосмыслению равенства ? противоречию ? эстетическому удовлетворению ? Я не знаю, куда это ведет.

Никуда.

Е.Расёва, Р.Сикорский. Иатематика метаматематики. "Наука ", Москва, 1972.

Попробуйте очень внимательно почитать § 1 главы V. В частности, о соотношении теории и метатеории. Ну и вообще эту книгу почитайте.

[buk]

Someone в сообщении #435591 писал(а):

buk в сообщении #434526 писал(а):

Я немного запутался в Ваших (они не мои) теориях T и T`. Какая из них какая ?

По-моему, я достаточно однозначно выразился: T' - метатеория, T - предметная теория. T' должна уже существовать до того, как Вы начнёте строить T.

Вопрошая "какая из них какая ?" я имел в виду записи ZFC в алфавите, грубо говоря, $< \in , \exists , \forall, (,), =, \leftarrow , \rightarrow , \leftrightarrow , a,b,c, …z$ и в алфавите $<\{,\}>$.

Someone в сообщении #435591 писал(а):

buk в сообщении #434526 писал(а):

Метатеория, в которой строилась синтаксическая модель ZFC - это не ZFC - я различал объекты разного уровня.
Заключаю, что Ваши Т и Т` не о ней.

Да не важно, что именно за теории T' и T. Важно только отношение между ними: T' есть метатеория для T. Алфавит, синтаксис, аксиомы, правила вывода теории T определены в теории T'. Напротив, теория T о T' ничего не знает.

Из предложенный Вами книги § 1 главы V :

Простыми правилами.
Вы исключаете возможность, что столь [простые] правила (всего - лишь синтаксическая корректность) определены в самой этой теории ?
Подумайте, здесь не идет речь об истинности или доказуемости.

Someone в сообщении #435591 писал(а):

buk в сообщении #434526 писал(а):

(множества синтаксически правильных формул ZFC), а так же Т и Т`(элементы $G$).
$G$ является элементом и подмножеством $G$.
Так какое "Т" – теория, а какое - метатеория ?

После того, как Вы всё смешали в одну кучу, да ещё приплели неизвестно откуда взявшееся множество, понять уже ничего нельзя.

Можно понять, что различать предметную теорию и метатеорию, в данном случае, возможно, но практически бесполезно.

Someone в сообщении #435591 писал(а):

buk в сообщении #434526 писал(а):

Есть множество $G$ (п.1) его подмножествами могут являться Ваши T и T`

Откуда взялось множество $G$, если у Вас метатеория - не теория множеств?

Возьмем алфавит $<\{,\}>$. Синтаксическая корректность строк (слов и предложений) определяется [простыми] правилами:
1. $\{\}$ - индивидная переменная
2. $\{\{\}\}$
3. $\{\{\},\{\{\}\}\}$
Теория готова, ее объекты - собственный алфавит и синтаксис.

В теории алгоритмов естественно, когда исходный текст алгоритма подается на вход этого алгоритма. Чего же сверхъестественного в том, что теория является элементом собственной синтаксической модели ?

(Оффтоп)

Someone в сообщении #435591 писал(а):

buk в сообщении #434526 писал(а):

Someone в сообщении #434212 писал(а):

Вообще, мне так и непонятно, к чему Вы стремитесь, пытаясь "перемешать" предметную теорию и метатеорию.

Может к общности ? полноте ? переосмыслению равенства ? противоречию ? эстетическому удовлетворению ? Я не знаю, куда это ведет.

Никуда.

"Дороги, которые никуда не ведут, заводят дальше всего." Жорж Вольфрам

[Someone]

buk в сообщении #435788 писал(а):

Вопрошая "какая из них какая ?" я имел в виду записи ZFC в алфавите, грубо говоря, $< \in , \exists , \forall, (,), =, \leftarrow , \rightarrow , \leftrightarrow , a,b,c, …z$ и в алфавите $<\{,\}>$.

Вы не путаете язык теории с её моделью? Впрочем, Вы начали выражаться столь туманно, что я начинаю сомневаться в целесообразности продолжения разговора.

buk в сообщении #435788 писал(а):

Вы исключаете возможность, что столь [простые] правила (всего - лишь синтаксическая корректность) определены в самой этой теории ?

Исключаю. По тривиальной причине: пока язык теории T не определён (включая алфавит, синтаксис, правила вывода, аксиомы), у нас теории T нет, и сформулировать в ней хоть даже и очень простые правила невозможно.
Вы бы лучше обратили внимание на то, что в той книге аккуратно различаются символы языка теории и символы метаязыка.

buk в сообщении #435788 писал(а):

Можно понять, что различать предметную теорию и метатеорию, в данном случае, возможно, но практически бесполезно.

Это различение абсолютно необходимо. Как только Вы скажете, что теория и метатеория - это одно и то же, и формулы теории являются её объектами, как сразу же полезут противоречия. Пример я рассматривал здесь: http://dxdy.ru/post16271.html#p16271. Да и Котофеич пытался доказать противоречивость ZFC именно путём смешения теории и метатеории, хотя и более хитрым способом.

buk в сообщении #435788 писал(а):

Возьмем алфавит $<\{,\}>$. Синтаксическая корректность строк (слов и предложений) определяется [простыми] правилами:
1. $\{\}$ - индивидная переменная
2. $\{\{\}\}$
3. $\{\{\},\{\{\}\}\}$
Теория готова, ее объекты - собственный алфавит и синтаксис.

Алфавит и синтаксис у Вас определены в естественном языке. Вам же нужно описать всё это внутри Вашей теории. При этом Вы не можете ссылаться на символы "{" и "}", поскольку они принадлежат естественному языку, а не Вашей теории, которая о естесвенном языке ничего не знает.
Я, конечно, не могу Вам запретить называть теорией набор из трёх формул, но если Вы будете приводить такие "примеры", тему очень скоро отправят в Пургаторий.

[buk]

Someone в сообщении #435939 писал(а):

buk в сообщении #435788 писал(а):

Вопрошая "какая из них какая ?" я имел в виду записи ZFC в алфавите, грубо говоря, $< \in , \exists , \forall, (,), =, \leftarrow , \rightarrow , \leftrightarrow , a,b,c, …z$ и в алфавите $<\{,\}>$.

Вы не путаете язык теории с её моделью? Впрочем, Вы начали выражаться столь туманно, что я начинаю сомневаться в целесообразности продолжения разговора.

Вся тема о том, может ли алфавит и синтаксис теории быть частью ее синтаксической модели. Вы считаете, этого не может быть, потому что этого не может быть никогда.
Более, достойных аргументов я от Вас пока не услышал. Пока их не будет, продолжение разговора, действительно, не целесообразно.

Someone в сообщении #435939 писал(а):

buk в сообщении #435788 писал(а):

Вы исключаете возможность, что столь [простые] правила (всего - лишь синтаксическая корректность) определены в самой этой теории ?

Исключаю. По тривиальной причине: пока язык теории T не определён (включая алфавит, синтаксис, правила вывода, аксиомы), у нас теории T нет, и сформулировать в ней хоть даже и очень простые правила невозможно.
Вы бы лучше обратили внимание на то, что в той книге аккуратно различаются символы языка теории и символы метаязыка.

Заметьте, я спокойно отношусь к тому, что алфавит теории можно выбрать любым. Совсем не обязательно, чтобы он совпадал с алфавитом той теории, в которой определены синтаксические правила и той, которую принято называть метатеорией.
Вы не путаете их ?

Someone в сообщении #435939 писал(а):

buk в сообщении #435788 писал(а):

Можно понять, что различать предметную теорию и метатеорию, в данном случае, возможно, но практически бесполезно.

Это различение абсолютно необходимо. Как только Вы скажете, что теория и метатеория - это одно и то же, и формулы теории являются её объектами, как сразу же полезут противоречия. Пример я рассматривал здесь: http://dxdy.ru/post16271.html#p16271. Да и Котофеич пытался доказать противоречивость ZFC именно путём смешения теории и метатеории, хотя и более хитрым способом.

Просмотрел эту тему, Котофеич ошибался, по крайне мере, я с ним не согласен.
Еще раз, я не пытаюсь найти противоречие в ZFC. Оставим, пока аксиому регулярности, тем более, что Вас она не очень беспокоит. Наоборот, я жду, когда Вы предъявите противоречие. Где оно ?

Someone в сообщении #435939 писал(а):

buk в сообщении #435788 писал(а):

Возьмем алфавит $<\{,\}>$. Синтаксическая корректность строк (слов и предложений) определяется [простыми] правилами:
1. $\{\}$ - индивидная переменная
2. $\{\{\}\}$
3. $\{\{\},\{\{\}\}\}$
Теория готова, ее объекты - собственный алфавит и синтаксис.

Алфавит и синтаксис у Вас определены в естественном языке. Вам же нужно описать всё это внутри Вашей теории. При этом Вы не можете ссылаться на символы "{" и "}", поскольку они принадлежат естественному языку, а не Вашей теории, которая о естесвенном языке ничего не знает.

Как говорится, в чужом глазу соринку видим…
Я задал алфавит явно, куда более явно, чем это обычно делается в любом учебнике. Еще раз, алфавит теории $<\{,\}>$. Что не так ?
Хорошо, в каком языке у Вас определен алфавит и синтаксис, например, логики предикатов ?
Какой теорией определяется синтаксическая корректность той или иной формулы ? Заметьте, не ее истинность и не ее доказуемость.
В какой теории записаны правила, позволяющие отличить набор символов алфавита от осмысленной формулы ?
Сначала нужно ответить на вопрос, является ли данная строка формулой, а не набором символов из алфавита, а уж затем задаваться вопросами, о ее истинности и доказуемости.

Someone в сообщении #435939 писал(а):

Я, конечно, не могу Вам запретить называть теорией набор из трёх формул, но если Вы будете приводить такие "примеры", тему очень скоро отправят в [url=http://dxdy.ru/purgatorij-m-f79.html]Пургаторий[/u
rl].

Уж от кого, а от Вас … не ожидал.

[Someone]

buk в сообщении #435984 писал(а):

Вся тема о том, может ли алфавит и синтаксис теории быть частью ее синтаксической модели.

??? Безусловно, синтаксическая модель теории T должна быть определена в той же самой метатеории T', в которой определён язык теории T. Но синтаксическая модель строится из тех же символов, что что и формулы, поскольку элементами синтаксической модели являются термы языка теории T. Обратите внимание, что алфавит и синтаксис должны быть определены до того, как Вы начнёте строить синтаксическую модель, иначе Вы не сможете определить термы, чтобы построить из них модель.
Замечу, кстати, что Ваши строки из фигурных скобок не дадут модель ZFC, поскольку не будет выполняться аксиома бесконечности.

buk в сообщении #435984 писал(а):

Заметьте, я спокойно отношусь к тому, что алфавит теории можно выбрать любым. Совсем не обязательно, чтобы он совпадал с алфавитом той теории, в которой определены синтаксические правила и той, которую принято называть метатеорией.
Вы не путаете их ?

Нет, не путаю, поскольку никогда не утверждал, что алфавиты должны совпадать. Кроме того, "теория, в которой определены синтаксические правила" - это и есть метатеория.

buk в сообщении #435984 писал(а):

Еще раз, я не пытаюсь найти противоречие в ZFC. Оставим, пока аксиому регулярности, тем более, что Вас она не очень беспокоит. Наоборот, я жду, когда Вы предъявите противоречие.

Противоречие предъявлено в том сообщении, на которое я ссылался. Никакая аксиома регулярности там не упоминается.

buk в сообщении #435984 писал(а):

Хорошо, в каком языке у Вас определен алфавит и синтаксис, например, логики предикатов ?
Какой теорией определяется синтаксическая корректность той или иной формулы ? Заметьте, не ее истинность и не ее доказуемость.
В какой теории записаны правила, позволяющие отличить набор символов алфавита от осмысленной формулы ?

Как правило (за исключением специальных случаев), в качестве метатеории используется естественный язык.

buk в сообщении #435984 писал(а):

Уж от кого, а от Вас … не ожидал.

Я вредный и не люблю троллей.

[buk]

Кажется, что-то проясняется.

Someone в сообщении #436004 писал(а):

buk в сообщении #435984 писал(а):

Вся тема о том, может ли алфавит и синтаксис теории быть частью ее синтаксической модели.

??? Безусловно, синтаксическая модель теории T должна быть определена в той же самой метатеории T', в которой определён язык теории T.

Понятие "язык" в данном случае "негабаритное", рассмотрим его составляющие.
1) Язык состоит из алфавита, синтаксических правил и правил вывода.

2) Простейший (конечный) алфавит представляет собой просто строку разрешенных символов. Алфавит Т задаются явно, в T`.

3) Синтаксис (простейший) представляет собой набор подстановочных формул Т` для символов алфавита T. Они задают множество корректных объединений символов алфавита T, т.е. формул, позволяют отличить, какой набор символов является формулой Т, а какой нет. Ничего о модальных свойствах формул они не утверждают (ни их истинность или ложность, ни чего-либо другого).

4) Правила вывода (простейшие) принадлежат теории Т и представляет собой набор подстановочных формул, позволяющих переводить одни доказуемые утверждения в другие, они задают множество доказуемых формул.

Множество формул больше или равно множеству доказуемых формул.
Метатеоремы теории Т` утверждают что-то о множестве недоказуемых формул. Например, что оно пусто или нет.

Теперь по пунктам "языка".
1). В Т`` задаем одинаковый алфавит Т и Т`;
2). В T`` задаем одинаковые подстановочные формулы Т и T`, разрешаем подставлять их в себя;
3). В Т и Т` задаем разные аксиомы (например, в Т на одну независимую аксиому больше, чем в Т`).

Получаем:
1). Множества формул (синтаксически корректных строк) Т и Т` равны;
2). Множества доказуемых формул разные (теория Т` является более общей чем Т).

Someone в сообщении #436004 писал(а):

Но синтаксическая модель строится из тех же символов, что что и формулы, поскольку элементами синтаксической модели являются термы языка теории T.

Совершенно не обязательно строить синтаксическую модель из тех же символов.

Someone в сообщении #436004 писал(а):

Обратите внимание, что алфавит и синтаксис должны быть определены до того, как Вы начнёте строить синтаксическую модель, иначе Вы не сможете определить термы, чтобы построить из них модель.

Извините, не ощутил глубины мысли.

Someone в сообщении #436004 писал(а):

Замечу, кстати, что Ваши строки из фигурных скобок не дадут модель ZFC, поскольку не будет выполняться аксиома бесконечности.

Это достойное замечание.
Действительно, бесконечные предложения в ZFC не допускаются. Имеется только потенциальная осуществимость, счетно-бесконечные схемы аксиом, счетно бесконечный алфавит. Однако, это не означает, что бесконечной строки не существует. Наоборот, она существует, по определению, т.к. является частью синтаксической модели ZFC.
Другое дело, что эта строка не является синтаксически корректной формулой ZFC (по признаку конечности).

Someone в сообщении #436004 писал(а):

buk в сообщении #435984 писал(а):

Заметьте, я спокойно отношусь к тому, что алфавит теории можно выбрать любым. Совсем не обязательно, чтобы он совпадал с алфавитом той теории, в которой определены синтаксические правила и той, которую принято называть метатеорией.
Вы не путаете их ?

Нет, не путаю, поскольку никогда не утверждал, что алфавиты должны совпадать. Кроме того, "теория, в которой определены синтаксические правила" - это и есть метатеория.

Я не считаю, что синтаксические правила Всегда определены в "метатеории", т.к.
понятие "метатеория" не достаточно точное. Я не считаю, что на теориях линейный порядок.
Это моя четкая, твердая позиция, которую я готов защищать.

Someone в сообщении #436004 писал(а):

buk в сообщении #435984 писал(а):

Еще раз, я не пытаюсь найти противоречие в ZFC. Оставим, пока аксиому регулярности, тем более, что Вас она не очень беспокоит. Наоборот, я жду, когда Вы предъявите противоречие.

Противоречие предъявлено в том сообщении, на которое я ссылался. Никакая аксиома регулярности там не упоминается.

Оставим пока это.
Разберемся сначала с элементарными случаями.

Someone в сообщении #436004 писал(а):

buk в сообщении #435984 писал(а):

Хорошо, в каком языке у Вас определен алфавит и синтаксис, например, логики предикатов ?
Какой теорией определяется синтаксическая корректность той или иной формулы ? Заметьте, не ее истинность и не ее доказуемость.
В какой теории записаны правила, позволяющие отличить набор символов алфавита от осмысленной формулы ?

Как правило (за исключением специальных случаев), в качестве метатеории используется естественный язык.

Эти специальные случаи вселяют надежду. Может Вы уделите им некоторое внимание ?
Не стреляйте из пушки по воробьям.

(Оффтоп)

Someone в сообщении #436004 писал(а):

buk в сообщении #435984 писал(а):

Уж от кого, а от Вас … не ожидал.

Я вредный и не люблю троллей.

Все мы вредные, а тролли, эльфы и прочие "личности" не имеют отношения к сути темы, прячьте их подальше, в оффтопе, где им и место.

[Jnrty]

Jnrty:

buk в сообщении #436428 писал(а):

Теперь по пунктам "языка".
1). В Т`` задаем одинаковый алфавит Т и Т`;
2). В T`` задаем одинаковые подстановочные формулы Т и T`, разрешаем подставлять их в себя;
3). В Т и Т` задаем разные аксиомы (например, в Т на одну независимую аксиому больше, чем в Т`).

Получаем:
1). Множества формул (синтаксически корректных строк) Т и Т` равны;
2). Множества доказуемых формул разные (теория Т` является более общей чем Т).

Вывод: T" является метатеорией для T и для T', T' не является метатеорией для T.
Вообще, очень глупый троллинг. В Пургаторий.
Создавать новую тему о том же самом запрещается (вплоть до бессрочного бана).