Общая касательная на две окружности

[bot]

Тоже красиво. (с)

[Алексей К.]

А вот ещё способ. Типа аналитический, по Декарту. Малоизвестный, поэтому справочных формул наколотить придётся.

Пусть ориентированная (т.е. с нарисованной стрелочкой) прямая/окружность кривизны $k_0$ имеет в точке $x_0,y_0$ касательную с направлением $\tau_0$. Тогда уравнение этой окружности можно записать в виде

$$ k_0\left[(x{-}x_0)^2{+}(y{-}y_0)^2\right]+ 2(x{-}x_0)\sin\tau_0 - 2(y{-}y_0)\cos\tau_0\equiv A(x^2{+}y^2)+2Bx+2Cy+D = 0$$

($A=k_0$, $B=-k_0 x_0 + \sin\tau_0$, итд.). При этом выполнено нормировочное условие

$$ B^2 + C^2 - AD = 1. \qquad\eqno(1)$$

Координаты центра окружности, если понадобятся: $(p,q)=\left(-\dfrac{B}{A},\: -\dfrac{C}{A}\right)=\left(x_0 - \dfrac{\sin\tau_0}{k_0},\: y_0 + \dfrac{\cos\tau_0}{k_0}\right).$
Тогда для угла пересечения $\psi_{12}$ двух окружностей $K_1=\{A_1,B_1,C_1,D_1\}$ и $K_2=\{A_2,B_2,C_2,D_2\}$ справедлива формула
Hack attempt!

Пусть $K_1$ — зелёная окружность, $K_2$ — синяя. Искомая красная прямая-касательная есть $K_0=\{A_0,B_0,C_0,D_0\},\; \underline{A_0=0}$. Условие (1) принимает привычный вид $B_0^2+C_0^2=1$.
На первом рисуночке $\psi_{10}=0$, $\psi_{20}=0$. Эти прямые мы получим из системы уравнений

$$\begin{cases}F(K_1,K_0)=2,\\F(K_2,K_0)=2.\end{cases}$$

На втором рисунке мы имеем "антикасание": касательные векторы противоположны, $\psi_{10}=\psi_{20}=\pi$. Эту прямую мы получим из системы уравнений

$$\begin{cases}F(K_1,K_0)=-2,\\F(K_2,K_0)=-2.\end{cases}$$

Мы получим прямую, в коэффициентах которой заложена именно такая ориентация. Нарисованное решение также не единственно.

На третьем — $\psi_{10}=\pi$, $\psi_{20}=0$.

Либо можно реверсировать одну из окружностей, чисто поменяв знак всех коэффициентов. Ну да, все четыре прямые получим из двух систем,

$$\begin{cases}F(K_1,K_0)=\hphantom{-}2,\\F(K_2,K_0)=\pm2.\end{cases}$$

Как-то так...

[math_lover]

Извиняюсь, что так долго не отвечал, просто времени не было...

Касательные я решил:

к параболам:

$\[\begin{array}{l} {y_1} = \left( {3 + \sqrt 3 } \right)x + \frac{{4 + 3\sqrt 3 }}{2}, \\ {y_2} = \left( {3 - \sqrt 3 } \right)x + \frac{{4 - 3\sqrt 3 }}{2}. \\ \end{array}\] $

к двум окружностям только одну (тем же способом):

$\[y = \frac{{20 + \sqrt {85} }}{{30}}x + \frac{{140 + 19\sqrt {85} }}{6}.\] $

(остальные касательные не стал...)
(Во все предложенные способы вникать тоже нет времени, извиняюсь... )
Тем не менее, буду рад каждому Вашему совету в следующем моем вопросе...