Найти все функции

[myra_panama]

Найти все непрерывные вещественные функции , определенный на всей числовой прямой и такие , что
$f(\frac{x+y}{x-y})=\frac{f(x)+f(y)}{f(x)-f(y)}$ .

[Null]

Константа подходит?

[BapuK]

на ноль делить нельзя же)

[Null]

Т.е. можно утверждать что функция инъективна?

[worm2]

Можно показать, что $f$ нечётна, а также что $f(x)=x$ для $x\in\{0,\pm 1, \pm 1\pm\sqrt{2}\}$. Если после этого воспользоваться тем фактом, что $\left(f(x)=x,\,f(y)=y\right)\Rightarrow f\left(\frac{x+y}{x-y}\right)=\frac{x+y}{x-y}$, то... на этом мысль останавливается

[myra_panama]

worm2 в сообщении #432486 писал(а):

$\left(f(x)=x,\,f(y)=y\right)\Rightarrow f\left(\frac{x+y}{x-y}\right)=\frac{x+y}{x-y}$, то... на этом мысль останавливается

а как - это доказать , ..... или как решить.... мне нужен , доклад по функ уравнению сделать... типа таких уравнении..

[worm2]

Ну, то что Вы прокомментировали, очевидно и доказательства не требует
Подставляем $y=0$, получаем $\frac{f(x)+f(0)}{f(x)-f(0)}=f(1)$. Справа константа, слева константа только если $f(0)=0$ (мы выяснили уже, что $f$ не есть константа), значит, так оно и есть. Одновременно получаем $f(1)=1$. Подставляя $y=-x$, получаем $f(-x)=-f(x)$. Пусть теперь $f(x) = 0$ для какого-то $x\ne 0$. Тогда слева имеем переменную функцию (от $y$), справа — константа. Значит, $f(0)=0$ — единственный корень, функция положительна для положительных аргументов и наоборот. Пусть теперь $z=1+\sqrt{2}$ — положительный корень уравнения $z^2-2z-1=0$. Тогда $-z=\frac{z+1}{z-1}$, $-f(z)=f(-z)=f\left(\frac{z+1}{z-1}\right)=\frac{f(z)+1}{f(z)-1}$, то есть $f(z)$ — корень того же уравнения. А поскольку два корня этого уравнения ($1\pm\sqrt{2}$) имеют разные знаки, не может быть $f(z)\ne z$, иначе на отрезке $[1, z]$ в силу непрерывности был бы корень уравнения $f(x)=0$, что невозможно, как мы показали. Аналогично для второго (отрицательного) корня уравнения.

В принципе таких уравнений много можно написать. Но я надеюсь, что только из процитированной Вами формулы можно будет построить всюду плотное множество на $\mathbb{R}$.

[Simba]

Вот моё решение (попроще):
1) $y\rightarrow 1$: получаем, уравнение с двумя переменными ($f(x),f(\frac{x+1}{x-1})$)
2) $y\rightarrow 1, x\rightarrow \frac{x+1}{x-1}$: также, получится другое уравнение, но с теми же переменными ($f(1)$ - это константа)
В итоге 2 уравнения с двумя неизвестными, откуда находим $f(x)$.

[worm2]

Simba писал(а):

В итоге 2 уравнения с двумя неизвестными

Попробовал так сделать, и (зная, что $f(1)=1$) пришёл к двум эквивалентным уравнениям, из них не получается найти неизвестные.

[neo66]

myra_panama в сообщении #432431 писал(а):

Найти все непрерывные вещественные функции , определенный на всей числовой прямой и такие , что
$f(\frac{x+y}{x-y})=\frac{f(x)+f(y)}{f(x)-f(y)}$ .

Вскрытие показало,

(Оффтоп)

что больной умер от вскрытия.

что единственное решение $f(x)=x$.