Ну, то что Вы прокомментировали, очевидно и доказательства не требует

Подставляем

, получаем

. Справа константа, слева константа только если

(мы выяснили уже, что

не есть константа), значит, так оно и есть. Одновременно получаем

. Подставляя

, получаем

. Пусть теперь

для какого-то

. Тогда слева имеем переменную функцию (от

), справа — константа. Значит,

— единственный корень, функция положительна для положительных аргументов и наоборот. Пусть теперь

— положительный корень уравнения

. Тогда

,

, то есть

— корень того же уравнения. А поскольку два корня этого уравнения (

) имеют разные знаки, не может быть

, иначе на отрезке
![$[1, z]$ $[1, z]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/0/0/100cfa195048193da364d5e81f774bdb82.png)
в силу непрерывности был бы корень уравнения

, что невозможно, как мы показали. Аналогично для второго (отрицательного) корня уравнения.
В принципе таких уравнений много можно написать. Но я надеюсь, что только из процитированной Вами формулы можно будет построить всюду плотное множество на

.