Упростить выражение номер 1.041 из Сканави

[Aero111]

Прорешиваю примеры из сборника для поступающих во ВТУЗы Сканави и натолкнулся на "крепкий орешек". В сборнике он идет под номером 1.041. Согласно сборнику, ответ должен быть равен минус четырем (-4). Но такой ответ получить не удается.

Кто-то может решить?

Вот сам пример:
$t\cfrac{1+\cfrac{2}{\sqrt{t+4}}}{2-\sqrt{t+4}} + \sqrt{t+4} + \frac{4}{\sqrt{t+4}} $

(Оффтоп)

Две возможные причины неудачи:
1) Скорей всего, причина затруднений, кроется в неправильной интерпретации первой трехэтажной дроби.
2)Может в книге опечатка? Меня смущает переменная t, которая стоит в самом начале примера. В отсканенной книге, после t стоит какой-то невнятный символ - это может оказаться дефектом сканирования, который не позволяет правильно интерпретировать данный пример.

Может у кого-то в печатном виде есть Сканави? Посмотрите, пожалуйста, что там за символ после t.

По правилам, необходимо "обязательно [...] продемонстрировать свои содержательные попытки решения".

Демонстрирую:

(Оффтоп)

Две дроби справа складываются без проблем:


$\sqrt{t+4} + \frac{4}{\sqrt{t+4}} = \frac{(t+4)+4}{\sqrt{t+4}} = \frac{t+8}{\sqrt{t+4}} $





А вот с первой дробью возникают проблемы


$t\cfrac{1+\cfrac{2}{\sqrt{t+4}}}{2-\sqrt{t+4}} $


Это трехэтажная дробь, поэтому ее можно интерпретировать двояко.

1)$t(1+\cfrac{2}{\sqrt{t+4}}):({2-\sqrt{t+4}}) = t(1+\cfrac{2}{\sqrt{t+4}})\frac{1}{2-\sqrt{t+4}} = t\cfrac{\sqrt{t+4}+2}{\sqrt{t+4}(2-\sqrt{t+4})} $


2) $t\cfrac{1+\cfrac{2}{\sqrt{t+4}}}{2-\sqrt{t+4}} = $t\cfrac{\cfrac{\sqrt{t+4}+2}{\sqrt{t+4}}}{2-\sqrt{t+4}} = $t(\sqrt{t+4}+2):\frac{\sqrt{t+4}}{2-\sqrt{t+4}} = $t(\sqrt{t+4}+2)\frac{2-\sqrt{t+4}}{\sqrt{t+4}} = \frac{t(2+\sqrt{t+4})(2-\sqrt{t+4})}{\sqrt{t+4}} = \frac{t(4 -(t-4)}{\sqrt{t+4}} = \frac{t(8 -t)}{\sqrt{t+4}} $

Но, затруднение вызывает то, что ни в одном из этих случаев, у меня не получается в ответе получить минус четыре.

В электронном виде сборник Сканави, из которого взят этот пример, можно скачать здесь (12 мб) (открывать с помощью этой проги, сам пример номер 1.041 находится на 11 странице, а ответ на него можно посмотреть на 262 странице):
http://rutracker.org/forum/viewtopic.php?t=335103

[gris]

В условии всё правильно. У меня получилось -4 сложением дробей, приведением к общему знаменателю, сокращением прямо в лоб. Вероятно есть более изящное решение.
В Ваших попытках первый вариант верный. Второй — нет, ибо Вы начинаете "интерпретацию" там, где она неприменима. Ибо трёхэтажная дробь получена из дроби у которой интерпретация единственна.
Складывайте то, что у Вас получилось и сокращайте понемногу.
Но подумайте и над более интересным решением.

Ещё раз про интерпретацию. Если дробь $\dfrac{a}{\dfrac{b}{c}}$ появилась неизвестно откуда, то мы можем воспринять её как $\dfrac{a}{\,\,\dfrac{b}{c}\,\,}$ или как $\dfrac{\,\,\dfrac{a}{b}\,\,}{c}$.
Но если она на наших глазах возникла из формулы $\dfrac{a+0}{\dfrac{b}{c}}$, то возможна только первая интерпретация. А вообще подобных конструкций лучше избегать, пользуясь двоеточием.

[Aero111]

А какая интерпретация трехэтажной дроби правильная - вторая?

[venco]

Aero111 в сообщении #432494 писал(а):

Согласно сборнику, ответ должен быть равен минус четырем (-4). Но такой ответ получить не удается.

У меня получился.

Aero111 в сообщении #432494 писал(а):

Это трехэтажная дробь, поэтому ее можно интерпретировать двояко.

Как ни интерпретируй, одно и то же получается.

Aero111 в сообщении #432494 писал(а):

2) $t\cfrac{1+\cfrac{2}{\sqrt{t+4}}}{2-\sqrt{t+4}} = $t\cfrac{\cfrac{\sqrt{t+4}+2}{\sqrt{t+4}}}{2-\sqrt{t+4}} = $t(\sqrt{t+4}+2):\frac{\sqrt{t+4}}{2-\sqrt{t+4}} = $t(\sqrt{t+4}+2)\frac{2-\sqrt{t+4}}{\sqrt{t+4}} = \frac{t(2+\sqrt{t+4})(2-\sqrt{t+4})}{\sqrt{t+4}} = \frac{t(4 -(t-4)}{\sqrt{t+4}} = \frac{t(8 -t)}{\sqrt{t+4}} $

Интересный у Вас получился переход после второго знака =.

-- Пт апр 08, 2011 09:24:16 --

А вообще, надо избавлятся от корня в знаменателе в первой дроби. Домножением на соответствующую сумму.

[--mS--]

Aero111 в сообщении #432494 писал(а):

Кто-то может решить?

Ответ $-4$ верен. К общему знаменателю приводить не пробовали?

Aero111 в сообщении #432494 писал(а):

(Оффтоп)

1) Скорей всего, причина затруднений, кроется в неправильной интерпретации первой трехэтажной дроби.
2)Может в книге опечатка? Меня смущает переменная t, которая стоит в самом начале примера.

Здесь соверешенно нет трёхэтажных дробей. В первой дроби числитель $t\left(1+\frac{2}{\sqrt{t+4}}\right)$, знаменатель $2-\sqrt{t+4}$. Множитель $t$ присутствует, опечатки нет.

[gris]

Ну вот придумал изящное решение. Обозначим $a=\sqrt{t+4}$. Тогда $t=a^2-4$ и наше выражение запишется так:

$(a^2-4)\cdot\dfrac{1+\dfrac2a}{2-a}+a+\dfrac4a=-(a+2)\cdot(1+\dfrac2a)+a+\dfrac4a=-a-2-2-\dfrac4a+a+\dfrac4a=?$

[Aero111]

Спасибо за помощь. Благодаря вашим подсказкам, удалось найти два варианта решения.

Первый "в лоб", и второй - более изящный, умножением числителя и знаменателя вот этой дроби:

$ t\cfrac{\sqrt{t+4}+2}{\sqrt{t+4}(2-\sqrt{t+4})} $


на это выражение:


$ 2 + \sqrt{t+4} $


И gris добавил еще одно изящное решение.