2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Упростить выражение номер 1.041 из Сканави
Сообщение08.04.2011, 17:06 
Прорешиваю примеры из сборника для поступающих во ВТУЗы Сканави и натолкнулся на "крепкий орешек". В сборнике он идет под номером 1.041. Согласно сборнику, ответ должен быть равен минус четырем (-4). Но такой ответ получить не удается.

Кто-то может решить?

Вот сам пример:
$t\cfrac{1+\cfrac{2}{\sqrt{t+4}}}{2-\sqrt{t+4}} + \sqrt{t+4} + \frac{4}{\sqrt{t+4}}

$



(Оффтоп)

Две возможные причины неудачи:
1) Скорей всего, причина затруднений, кроется в неправильной интерпретации первой трехэтажной дроби.
2)Может в книге опечатка? Меня смущает переменная t, которая стоит в самом начале примера. В отсканенной книге, после t стоит какой-то невнятный символ - это может оказаться дефектом сканирования, который не позволяет правильно интерпретировать данный пример.

Может у кого-то в печатном виде есть Сканави? Посмотрите, пожалуйста, что там за символ после t.



По правилам, необходимо "обязательно [...] продемонстрировать свои содержательные попытки решения".

Демонстрирую:


(Оффтоп)

Две дроби справа складываются без проблем:


$\sqrt{t+4} + \frac{4}{\sqrt{t+4}} = \frac{(t+4)+4}{\sqrt{t+4}} = \frac{t+8}{\sqrt{t+4}}



$





А вот с первой дробью возникают проблемы


$t\cfrac{1+\cfrac{2}{\sqrt{t+4}}}{2-\sqrt{t+4}}

$


Это трехэтажная дробь, поэтому ее можно интерпретировать двояко.

1)$t(1+\cfrac{2}{\sqrt{t+4}}):({2-\sqrt{t+4}}) = t(1+\cfrac{2}{\sqrt{t+4}})\frac{1}{2-\sqrt{t+4}} = t\cfrac{\sqrt{t+4}+2}{\sqrt{t+4}(2-\sqrt{t+4})}

$


2) $t\cfrac{1+\cfrac{2}{\sqrt{t+4}}}{2-\sqrt{t+4}} =  $t\cfrac{\cfrac{\sqrt{t+4}+2}{\sqrt{t+4}}}{2-\sqrt{t+4}} = $t(\sqrt{t+4}+2):\frac{\sqrt{t+4}}{2-\sqrt{t+4}} = $t(\sqrt{t+4}+2)\frac{2-\sqrt{t+4}}{\sqrt{t+4}} = \frac{t(2+\sqrt{t+4})(2-\sqrt{t+4})}{\sqrt{t+4}} = \frac{t(4 -(t-4)}{\sqrt{t+4}} = \frac{t(8 -t)}{\sqrt{t+4}} 


$

Но, затруднение вызывает то, что ни в одном из этих случаев, у меня не получается в ответе получить минус четыре.


В электронном виде сборник Сканави, из которого взят этот пример, можно скачать здесь (12 мб) (открывать с помощью этой проги, сам пример номер 1.041 находится на 11 странице, а ответ на него можно посмотреть на 262 странице):
http://rutracker.org/forum/viewtopic.php?t=335103

 
 
 
 
Сообщение08.04.2011, 17:16 
Аватара пользователя
В условии всё правильно. У меня получилось -4 сложением дробей, приведением к общему знаменателю, сокращением прямо в лоб. Вероятно есть более изящное решение.
В Ваших попытках первый вариант верный. Второй — нет, ибо Вы начинаете "интерпретацию" там, где она неприменима. Ибо трёхэтажная дробь получена из дроби у которой интерпретация единственна.
Складывайте то, что у Вас получилось и сокращайте понемногу.
Но подумайте и над более интересным решением.

Ещё раз про интерпретацию. Если дробь $\dfrac{a}{\dfrac{b}{c}}$ появилась неизвестно откуда, то мы можем воспринять её как $\dfrac{a}{\,\,\dfrac{b}{c}\,\,}$ или как $\dfrac{\,\,\dfrac{a}{b}\,\,}{c}$.
Но если она на наших глазах возникла из формулы $\dfrac{a+0}{\dfrac{b}{c}}$, то возможна только первая интерпретация. А вообще подобных конструкций лучше избегать, пользуясь двоеточием.

 
 
 
 
Сообщение08.04.2011, 17:20 
А какая интерпретация трехэтажной дроби правильная - вторая?

 
 
 
 Re: Упростить выражение номер 1.041 из Сканави
Сообщение08.04.2011, 17:22 
Aero111 в сообщении #432494 писал(а):
Согласно сборнику, ответ должен быть равен минус четырем (-4). Но такой ответ получить не удается.
У меня получился.

Aero111 в сообщении #432494 писал(а):
Это трехэтажная дробь, поэтому ее можно интерпретировать двояко.
Как ни интерпретируй, одно и то же получается.

Aero111 в сообщении #432494 писал(а):
2) $t\cfrac{1+\cfrac{2}{\sqrt{t+4}}}{2-\sqrt{t+4}} =  $t\cfrac{\cfrac{\sqrt{t+4}+2}{\sqrt{t+4}}}{2-\sqrt{t+4}} = $t(\sqrt{t+4}+2):\frac{\sqrt{t+4}}{2-\sqrt{t+4}} = $t(\sqrt{t+4}+2)\frac{2-\sqrt{t+4}}{\sqrt{t+4}} = \frac{t(2+\sqrt{t+4})(2-\sqrt{t+4})}{\sqrt{t+4}} = \frac{t(4 -(t-4)}{\sqrt{t+4}} = \frac{t(8 -t)}{\sqrt{t+4}}
$
Интересный у Вас получился переход после второго знака =.

-- Пт апр 08, 2011 09:24:16 --

А вообще, надо избавлятся от корня в знаменателе в первой дроби. Домножением на соответствующую сумму.

 
 
 
 Re: Упростить выражение номер 1.041 из Сканави
Сообщение08.04.2011, 17:29 
Аватара пользователя
Aero111 в сообщении #432494 писал(а):
Кто-то может решить?

Ответ $-4$ верен. К общему знаменателю приводить не пробовали?
Aero111 в сообщении #432494 писал(а):

(Оффтоп)

1) Скорей всего, причина затруднений, кроется в неправильной интерпретации первой трехэтажной дроби.
2)Может в книге опечатка? Меня смущает переменная t, которая стоит в самом начале примера.


Здесь соверешенно нет трёхэтажных дробей. В первой дроби числитель $t\left(1+\frac{2}{\sqrt{t+4}}\right)$, знаменатель $2-\sqrt{t+4}$. Множитель $t$ присутствует, опечатки нет.

 
 
 
 
Сообщение08.04.2011, 17:40 
Аватара пользователя
Ну вот придумал изящное решение. Обозначим $a=\sqrt{t+4}$. Тогда $t=a^2-4$ и наше выражение запишется так:

$(a^2-4)\cdot\dfrac{1+\dfrac2a}{2-a}+a+\dfrac4a=-(a+2)\cdot(1+\dfrac2a)+a+\dfrac4a=-a-2-2-\dfrac4a+a+\dfrac4a=?$

 
 
 
 
Сообщение08.04.2011, 18:08 
Спасибо за помощь. Благодаря вашим подсказкам, удалось найти два варианта решения.

Первый "в лоб", и второй - более изящный, умножением числителя и знаменателя вот этой дроби:

$

t\cfrac{\sqrt{t+4}+2}{\sqrt{t+4}(2-\sqrt{t+4})}

$


на это выражение:


$

2 + \sqrt{t+4}

$


И gris добавил еще одно изящное решение.

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group