passenger писал(а):
1. Определить на

структуру поля Галуа и построить полином, реализующий функцию

, которая принимает значение 1, если x = 0, и 0 в противном случае.
Вообще, когда Вы пишете условие задачи, то бывает полезно пояснять все обозначения. Судя по всему, Вам нужно поле из 8 элементов. Это очень просто.

, поэтому берём поле

как основное, рассматриваем
![$k[x]$ $k[x]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/c/5/bc5ba07d9534553e1b52e9b30e966f0582.png)
--- кольцо многочленов, берём неприводимый многочлен
![$p \in k[x]$ $p \in k[x]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/a/0/ea035a2664217cfe84749c786eafa2fc82.png)
третьей степени и рассматриваем факторкольцо
![$k[x]/(p)$ $k[x]/(p)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/0/3/0034a7d36a7552430758353f588604fe82.png)
(то есть факторкольцо по идеалу, порождённому

). Из общей теории, это будет векторное пространство над

размерности 3, и в нём ровно 8 элементов. Оно будет полем, потому что

неприводим.
Умножение в таком факторкольце --- это обычное умножение многочленов с взятием остатка по модулю

. Вот и всё. Ну а как на таком поле соорудить индикаторную функцию --- уже вроде ясно

Алгебра -- сила!