поле Галуа

[passenger]

Прошу помощи в решении следующих задач:

1. Определить на E_8 структуру поля Галуа и построить полином, реализующий функцию j_0(x), которая принимает значение 1, если x = 0, и 0 в противном случае.

2. Доказать, что при k, больших 3, в P_k имеется континуум замкнутых классов, не имеющих базиса.

Заранее благодарю за помощь.

[DMVN]

passenger писал(а):

1. Определить на E_8 структуру поля Галуа и построить полином, реализующий функцию j_0(x), которая принимает значение 1, если x = 0, и 0 в противном случае.

Вообще, когда Вы пишете условие задачи, то бывает полезно пояснять все обозначения. Судя по всему, Вам нужно поле из 8 элементов. Это очень просто. $8 = 2^3$, поэтому берём поле $k = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ как основное, рассматриваем $k[x]$ --- кольцо многочленов, берём неприводимый многочлен $p \in k[x]$ третьей степени и рассматриваем факторкольцо $k[x]/(p)$ (то есть факторкольцо по идеалу, порождённому $p$). Из общей теории, это будет векторное пространство над $k$ размерности 3, и в нём ровно 8 элементов. Оно будет полем, потому что $p$ неприводим.

Умножение в таком факторкольце --- это обычное умножение многочленов с взятием остатка по модулю $p(x)$. Вот и всё. Ну а как на таком поле соорудить индикаторную функцию --- уже вроде ясно Алгебра -- сила!

[passenger]

Спасибо за помощь в решении первой задачи!

...
Новая задача в отдельной теме// нг

[aldran]

простите не подскажете а если поле из 9 элементов, и если кто знает - где почитать про поля Галуа?

[radical]

Поле из 9 элементов строится так же, как и в разобранном выше примере, только с учетом того, что 9 = 3^2. Соответственно нужно взять поле \mathbb Z_3 и неприводимый многочлен степени 2. Про поля Галуа можно прочитать в любом университетском учебнике по алгебре (мне по этой теме больше всего нравится "Алгебра" Ван дер Вардена).