Теория чисел (уравнения в целых числах)

[DjD USB]

1)Решить в простых числах $1+x^y=z$
2)Имеет ли уравнение $p^2+q^2=y^2$ решения в простых числах
3)Решить в целых числах уравнение $x^2+y^2=20052006$
4)Решить уравнение в целых числах $x^4+y^4=1986198519841983$
5)Найдите все целые $n$ такие, что $n^3+n$ кратно $n+3$

[MrDindows]

1) Чётность-нечётность покрутите.
2) Аналогично
3) А тут рассмотрите остатки при делении на 3.
4) Ну тоже можно, на некую степень тройки...

[DjD USB]

По подробней можно ????

[Dan B-Yallay]

Допустим $x,y,z$- простые числа, отличные от 2. Тогда очевидно что $1+x^y$ -четное. Но $z$ - простое и отлично от 2, поэтому получаем противоречие. Значит решение обязано иметь двойку....

[DjD USB]

Шушуть не догнал (((

[Dan B-Yallay]

Ответьте на каждый вопрос по очереди:
1) Пусть $x$ - простое число, отличное от 2. Может ли $x$ быть четным?
2) Можно ли нечетное число возвести в некоторую степень и получить четное?
3) Если к нечетному числу прибавить 1 - получится ли простое число?

[DjD USB]

1)нет
2)нет
3)нет

[Dan B-Yallay]

Значит $x=2,$ верно?

[DjD USB]

Известно, что при некоторых a и b число $(16a+17b)(17a+16b)$ делится на $11$
Док-ть что оно делится на $121$

-- Ср апр 06, 2011 19:04:12 --

Значит верно а 2 это все решения больше не надо ничего даказывать????

[Dan B-Yallay]

DjD USB в сообщении #431883 писал(а):

Известно, что при некоторых a и b число $(16a+17b)(17a+16b)$ делится на $11$
Док-ть что оно делится на $121$

Представьте $16a+17b$ в виде произведения простых

Цитата:

Значит верно а 2 это все решения больше не надо ничего даказывать????

Конечно надо больше доказывать. Это только начало. Дальше - самостоятельно.

[DjD USB]

Представьте $16a+17b$ в виде произведения простых

Не понял???

[Dan B-Yallay]

$$ \begin{align*}15 & = 3 \cdot 5 \\ 18& =2\cdot 3^2 \\ 30&=2\cdot 3\cdot 5\\ 56& =2^3\cdot 7\\ 16a+17b& = p_1^{k_1}\cdot p_2^{k_2}... \cdot p_n^{k_n}\end{align*}$$

Как Вы считаете, если в $16a+17b$ изначально нет 11 откуда онo пoявится в $(16a+17b)^2$? А если есть, то...

[DjD USB]

Я очень тупой это курс 9 класса если нет можно по проще или по подробней
в $(16a+17b)^2$ появится не от куда )))

[Dan B-Yallay]

Значит 11 должна быть сомножителем : $16a+17b = \beta \cdot 11$ для некоторого числа $\beta$. Соответственно, в $(16a+17b)(16a+17b) = b^2 \cdot 11^2$ будет входить $121=11^2$ в качестве сомножителя.

[Sonic86]

В 5) удобно сделать замену $m=n+3$. 3) и 4) можно перебором если совсем дело плохо...

DjD USB писал(а):

Известно, что при некоторых a и b число $(16a+17b)(17a+16b)$ делится на $11$
Док-ть что оно делится на $121$

Решается в лоб. Предположим, что $11|(16a+17b)$ упрощаем это соотношение, потом переписываем его по определению делимости и подставляем полученное во вторую скобку и смотрим, что оно оказывается тоже делится.
А еще можете просто сумму обеих скобок рассмотреть.

-- Ср апр 06, 2011 22:49:22 --

Dan B-Yallay, у него вроде как не квадрат, скобки разные...