Система уравнения

[myra_panama]

Решить в целых числах систему уравнении
$x^3+y^3+z^3=x+y+z=8$

[nnosipov]

Исключив $z$, получим уравнение, которое можно решить многими способами. Например, воспользоваться симметрией между $x$ и $y$ (т.е. перейти к уравнению относительно $u=x+y$ и $v=xy$). Или нарисовать график этого уравнения и присмотреться к его асимптотам. Или, что самое естественное, решить это уравнение как квадратное относительно любого из неизвестных. Наконец, есть и ещё один способ (его можно назвать "элементарная версия метода Рунге"), но это уже, наверное, перебор. Так что выбирайте.

[Sonic86]

Выражая $z$ из 2-го и подставляя в 1-е, я дошел до уравнения $672=ur(r+2(u-16))$, где $u=x+y$ ($xy=8(u-8+\frac{21}{u})$). Решать перебором дальше не хочется, поскольку там все понятно. Есть ли непереборное решение?

[nnosipov]

Sonic86 в сообщении #431082 писал(а):

Выражая $z$ из 2-го и подставляя в 1-е, я дошел до уравнения $672=ur(r+2(u-16))$, где $u=x+y$ ($xy=8(u-8+\frac{21}{u})$). Решать перебором дальше не хочется, поскольку там все понятно. Есть ли непереборное решение?

Вряд ли можно обойтись без перебора. Вот что можно было бы обсудить: сколь большим должен быть перебор, гарантирующий отыскание всех решений системы $x+y+z=x^3+y^3+z^3=c$, где $c$ --- фиксированное целое число? Иными словами, речь идёт о получении оценки вида $\max{(|x|,|y|,|z|)}<const \cdot |c|^k$ с возможно меньшим значением показателя $k$, справедливой для любого решения указанной системы.

[Sonic86]

nnosipov писал(а):

Sonic86 писал(а):

Выражая $z$ из 2-го и подставляя в 1-е, я дошел до уравнения $672=ur(r+2(u-16))$, где $u=x+y$ ($xy=8(u-8+\frac{21}{u})$). Решать перебором дальше не хочется, поскольку там все понятно. Есть ли непереборное решение?

Вряд ли можно обойтись без перебора. Вот что можно было бы обсудить: сколь большим должен быть перебор, гарантирующий отыскание всех решений системы $x+y+z=x^3+y^3+z^3=c$, где $c$ --- фиксированное целое число? Иными словами, речь идёт о получении оценки вида $\max{(|x|,|y|,|z|)}<const \cdot |c|^k$ с возможно меньшим значением показателя $k$, справедливой для любого решения указанной системы.

А почему именно $x+y+z=x^3+y^3+z^3=c$? Почему не $x+y+z=c,x^3+y^3+z^3=d$? Можно и коэффициенты подобавлять?
Ну для поиска $u=x+y$ мы используем перебор всех делителей числа $c^3$, для каждого $u$ находим $v$ из уравнения и считаем дискриминант. Значит $C \cdot c^3$ операций

[nnosipov]

Sonic86 в сообщении #431095 писал(а):

А почему именно $x+y+z=x^3+y^3+z^3=c$? Почему не $x+y+z=c,x^3+y^3+z^3=d$? Можно и коэффициенты подобавлять?
Ну для поиска $u=x+y$ мы используем перебор всех делителей числа $c^3$, для каждого $u$ находим $v$ из уравнения и считаем дискриминант. Значит $C \cdot c^3$ операций

А точно ли там $c^3$? В правых частях действительно можно написать и $c$, и $d$. А вот левые части надо менять очень аккуратно: например, систему $x+2y+z=x^3+2y^3+3z^3=8$ решить просто нельзя (если, конечно, она случайно не окажется неразрешимой по какому-нибудь модулю). Если эта задача интересна, посмотрите, пожалуйста, ещё тему "Границы для целочисленных решений кубического уравнения", там аналогичная задача сформулирована точнее и конкретнее.

[Sonic86]

nnosipov писал(а):

А точно ли там $c^3$? В правых частях действительно можно написать и $c$, и $d$. А вот левые части надо менять очень аккуратно: например, систему $x+2y+z=x^3+2y^3+3z^3=8$ решить просто нельзя (если, конечно, она случайно не окажется неразрешимой по какому-нибудь модулю). Если эта задача интересна, посмотрите, пожалуйста, ещё тему "Границы для целочисленных решений кубического уравнения", там аналогичная задача сформулирована точнее и конкретнее.

Так я и писал для $x^3+y^3+z^3=c, x+y+z=d$, а в общем, конечно, затрудняюсь. Насчет темы - посмотрим, хватит ли сил. Лучше бы там ответил кто поумнее...

[MrDindows]

Sonic86 в сообщении #431169 писал(а):

Так я и писал для $x^3+y^3+z^3=c, x+y+z=d$, а в общем, конечно, затрудняюсь. Насчет темы - посмотрим, хватит ли сил. Лучше бы там ответил кто поумнее...

(Оффтоп)

Ща я отвечу)

Задача всё-таки про целые числа, так что:
$x^3+y^3+z^3=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)+3xyz$
$8=8(8^2-3(xy+yz+zx))+3xyz$
$xyz=8(xy+yz+zx-21)$
$xyz\ \vdots\ 8$

Пусть $x=2x_1, \ y=2y_1, \ z=2z_1$
Тогда
$x_1^3+y_1^3+z_1^3=1$
$x_1+y_1+z_1=4$
Что невозможно из соображений чётности.
Два числа опять таки не могут делится на $2$, так как тогда $x+y+z$ нечётное.

Значит $x$ (без ограничения общности) делится на $8$, более того, на $16$, так как $(xy+yz+zx-21)$ тогда тоже чётное.
$x=16x_1$
Ща будем думать дальше)

[mihiv]

Возведем второе уравнение в куб и с учетом первого уравнения придем к равенству:$xy(x+y)+z(x+y)^2+z^2(x+y)=168$.$x$ можно считать четным,тогда $(x+y)$-нечетно,т.е. $(x+y)$-нечетный делитель числа 168.Перебор здесь не очень большой,всего восемь возможных значений $x+y:\pm 1,\pm 3,\pm 7,\pm 21$,все возможности я не проверял,но при $x+y=-1$ получаем решение $x=-16,y=15,z=9$

[age]

mihiv
Красиво. А мне подумалось вот как: система следующая:
$\begin{cases} x+y+z=8\\ x^3+y^3+z^3=8 \end{cases}$
Первое уравнение даёт плоскость, проходящую через точки $(8,0,0)$, $(0,8,0)$, $(0,0,8)$, т.е. при нулевых остальных координатах $x=8, y=8, z=8$. Отсекает равносторонний треугольник от положительного полупространства.
Точно так же ведёт себя поверхность $x^3+y^3+z^3=8$, только она кривая и имеет экстремум в точке $(2,2,2)$.
Очевидно, что решение системы возможно только в точках, где эти две поверхности пересекаются. Т.е. все решения будут симметрично располагаться на линии пересечения плоскости с поверхностью вокруг точки $(2,2,2)$.

[mihiv]

Проверил все возможные значния $x+y$,новых решений нет,так что все решения системы-это перестановки тройки чисел $\{-16,15,9\}.$