Поверхность свёртки. Найти интеграл

[uni]

Прощу подсказать как получается решение. По поводу сущности задачи, обратитесь по ссылке:
http://www.ugcs.caltech.edu/~andrei/thesis/,
там Chapter 2: Formulation of Convolution Surfaces - формулы примитивов.

На картинке интеграл, который я никак не могу взять. Этот интеграл входит в формулу для описания примитива-треугольник. Формулы для шара, отрезка и дуги я более менее вывел, а треугольник всё никак не даётся зараза. Ответ приводится в .ps файле. Есть альтернативные записи решения. К сожалению, по какой-то пока не выясненной мной причине, формула по ссылке, отвечающая за треугольник не работает. Кроме того, мне нужны такие функции (входящие в выражение ответа) в конечном варианте, чтобы не было ни намёка на комплексность вычислений. Всю визуализацию я делаю в Maple или Mathcad.
Вот так выглядят точка, отрезок и дуга. По-другому, поверхности свёртки ещё называют потенциальными поверхностями, т.к. применяются при визуализации полей зарядов.
.

Просьба только, если уж давать советы по поводу взятия тем или иным способом... делать это не на обум, что может мол... а с уверенностью, подкреплённой конкретной ссылкой из справочника или чего-нить альтернативного. Поскольку формулы "разворачиваются" длинные, то мне нужны только качественные советы, с количественными я сам разберусь - разложу, приведу, сокращу и т.п.
Думаю, не надо объяснять, что сам я уже не раз пробовал его взять, но что-то мозгов не хватает.

С уважением, Вячеслав.

[Someone]

А интеграл правильно написан? В левой части указана функция от $x$ и $y$, а в правой после интегрирования и подстановки пределов получится функция от $x$ и $z$.

И мне кажется, что Maple такие интегралы вычислять умеет. Во всяком случае, у меня Mathematica 4.1 вычисляет в символьном виде:

\begin{multline*}\int\limits_0^{h\left(1-\frac x{a_2}\right)}dy\int\limits_0^{a_2}\frac{dx}{(1+x^2+y^2+z^2)^2}=\frac{a_2}{2(1+z^2)\sqrt{1+a_2^2+z^2}}\arctg\frac{h\left(1-\frac x{a_2}\right)}{\sqrt{1+a_2^2+z^2}}+\\+\frac{h\left(1-\frac x{a_2}\right)}{2(1+z^2)\sqrt{1+z^2+h^2\left(1-\frac x{a_2}\right)^2}}\arctg\frac{a_2}{\sqrt{1+z^2+h^2\left(1-\frac x{a_2}\right)^2}}\text{.}\end{multline*}
А может быть, интегралы должны были стоять в обратном порядке? Тогда
\begin{multline*}\int\limits_0^{a_2}dx\int\limits_0^{h\left(1-\frac x{a_2}\right)}\frac{dy}{(1+x^2+y^2+z^2)^2}=\frac{ha_2}{2(1+z^2)\sqrt{h^2(1+z^2)+a_2^2(1+h^2+z^2)}}\times\\ \times\left(\arctg\frac{h^2}{\sqrt{h^2(1+z^2)+a_2^2(1+h^2+z^2)}}+\arctg\frac{a_2^2}{\sqrt{h^2(1+z^2)+a_2^2(1+h^2+z^2)}}\right)\text{.}\end{multline*}

[uni]

Мне нужно некоторое время для проверки. Mathematica есть, но не додумался брать с её помощью...ёклмн. Спасибо за наводку. Интеграл по-моему записан правильно, я его списывал из нескольких источников и везде он приводится имменно в таком двойном виде.
Проверить-то не сложно, я нарисую потенциальный треугольник, взяв ещё $F_{left} (x,y,z)$.

Цитата:

А интеграл правильно написан? В левой части указана функция от $x$ и $y$, а в правой после интегрирования и подстановки пределов получится функция от $x$ и $z$.

Да, это так. У меня тоже так получалось.

Добавлено спустя 2 часа 29 минут 17 секунд:

Пропадание координат наводит на мысль, что я не правильно выражаю $r(x,y,z)$. Явно я недопонимаю геометрического смысла. Сам интеграл выписан правильно, поскольку он одинаковый для всех фигур - потенциальных полей. Только для треугольника он двойной, поскольку мы складываем потенциалы в 2-х направлениях, т.е. на плоскости. Фишка вообще тут в том, что отрезок, дуга и треугольник (ещё плоскость есть) получаются путём суммирования (читай интегрирования) полей точечных зарядов. Если у отрезка длина, у дуги - угол поворота и радиус, то тут их целых 3: $a_1$, $a_2$ и $h$, кроме того, мудрёная система координат. Фигура должна получиться замкнутой, для этого туда должны входить все пространственные переменные, причём в чётных степенях - своего рода модифицированная сфера такая.

-= Вырезано =-

Цитата:

нг: п.п.1.1.к - карантин

0xFF: Маньяк я что-ли? Приводить в божеский вид, ошибка в одной букве - и решай всё заново! Я итак расчётного документа найти не могу, одни результаты остались. В принципе, я мог бы перенести запись в Maple, а от туда сконвертить в TeX... но всё равно эти формулы только для общего развития нужны были.

Буду думать что не так понял из геометрического смысла радиус-вектора для поля точечного заряда в системе координат треугольника.

[нг]

нг:

uni,
Приведите, пожалуйста, формулы в вид, принятый на форуме (см. правила, I.1.к). Тема переносится в карантин.

После приведение темы в приемлемый вид, пошлите, пожалуйста, в кем-либо из модераторов «Математики» ЛС (приват).