НОК и НОД

[Simba]

верно ли что:
$(a_1,a_2,...,a_n) \cdot [a_1,a_2,...,a_n]=a_1\cdot a_2 \cdot ...\cdot a_n$
где круглые и квадратные скобки это НОД и НОК соответственно? Вот для n=2 знаю - верно, а дальше боюсь, подскажите!

[Andrey173]

$2*4*8=64;$
$(2,4,8)=2;$
$[2,4,8]=8;$
$2*8=16$;
Наибольший общий делитель включает наименьшую степень двойки - 2.
Наименьшее общее кратное включает наибольшую степень двойки - 8, а вот 4 затерялась)
Если каждый простой множитель встречается не более двух раз, то верно.

[Simba]

Хорошо, а вот есть ли какая-то связь между НОК и НОД для n чисел?

[ИСН]

Тот делится на этот - чем не связь?

[Andrey173]

Да вроде даже в википедии написано)
Если $D, a_1, a_2,...,a_n$ - ненулевые числа, то тогда
$[a_1, a_2, ..., a_n]=\frac{D}{(\frac{D}{a_1},...,\frac{D}{a_n})}$
Т.е. если взять $D=a_1a_2...a_n$, то $[a_1, a_2, ... a_n]*(a_2a_3...a_n, a_1a_3...a_n,...,a_1a_2...a_{n-1})=a_1a_2...a_n$

[Simba]

А как вывести сей чудесной соотношение? И наверное тама $[a_1,a_2,...,a_n]|D$. Подскажите с выводом

[Andrey173]

Ну если только на бытовом уровне. Вам нужна книжка по теории чисел какая-нибудь)
Пусть $D=a_1*a_2*...*a_n$. В этом числе каждый простой множитель имеет показатель степени, равный сумме показателей степени этого множителя из данных числах(назовем его например суммарный показатель)
$(\frac{D}{a_1}, \frac{D}{a_2}, ..., \frac{D}{a_n})$ Тут для каждого множителя выбирается наименьший показатель. Очевидно этим наименьшим показателем является разность суммарного показателя и наибольшего показателя этого множителя среди данных чисел.
А потом из суммарного показателя вычитают этот наименьший показатель и получают собственно наибольший показатель этого множителя среди данных чисел. Именно он и должен входить в НОК.

[Sonic86]

Есть связь $\text{НОД} (a;b) \text{НОК} (a;b) = ab$ и есть соотношения $\text{НОД} (a;b;c)=\text{НОД} (a;\text{НОД} (b;c))$ и для НОК такое же. Вот подставите одно во второе и получите искомую связь для $n=3$, можете и дальше продолжить, если захотите, но я красивее получающихся монстров ничего не видел (м.б. я и ошибаюсь)