2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Граница для целочисленных решений кубического уравнения
Сообщение04.04.2011, 14:19 
Заслуженный участник


20/12/10
9179
Пусть $a$, $b$, $c$ --- целые числа, $b \neq 0$. a) Докажите, что для любого решения $(x,y)$ уравнения $y^3-2x^2y+ax^2+bx+c=0$ в целых числах справедлива оценка $|y|<C_1h^4$, где $h=\max{(|a|,|b|,|c|)}$ и $C_1$ --- абсолютная положительная константа. Можно ли эту оценку улучшить? б) Докажите, что для любого решения $(x,y)$ уравнения $y^3-2x^2y+x^2+x+c=0$ в целых числах имеет место оценка $|y|<C_2|c|$, где $C_2$ --- абсолютная положительная константа. Докажите также, что эта оценка неулучшаема.

P.S. $C_1=100$, $C_2=10$ (примерно).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.04.2011, 18:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/07/09
1238
nnosipov в сообщении #431098 писал(а):
Докажите также, что эта оценка неулучшаема.

Извините, а это как? По-моему, любое неравенство можно улучшать сколько угодно, пока оно не станет равенством во всех точках.

 Профиль  
                  
 
 Re:
Сообщение04.04.2011, 18:51 
Заслуженный участник


20/12/10
9179
Legioner93 в сообщении #431201 писал(а):
nnosipov в сообщении #431098 писал(а):
Докажите также, что эта оценка неулучшаема.

Извините, а это как? По-моему, любое неравенство можно улучшать сколько угодно, пока оно не станет равенством во всех точках.


Неулучшаема по порядку. Иными словами, требуется доказать невозможность оценки вида $|y|<C|c|^\alpha$ с каким бы то ни было показателем $\alpha<1$ и положительной константой $C$, не зависящей от $c$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.04.2011, 21:13 
Заслуженный участник


20/12/10
9179
Вот, пожалуй, наиболее симпатичный на мой взгляд и уж точно последний вариант задачи.

в) Пусть $c$ --- неотрицательное целое число. Докажите, что для любого решения $(x,y)$ уравнения $2y^3-x^2y-x-c=0$ в целых числах справедливо неравенство $|y| \leqslant \sqrt{2c^2+1}+c$, причём равенство может достигаться для бесконечно многих значений $c$.

Это уравнение я обнаружил в статье Hilliker D.L. An Algorithm for Solving a Certain Class of Diophantine Equations // Math. Comput. 1982. V. 38. P. 611-626. На двух с половиной страницах автор этой статьи выводит своим не очень элементарным методом оценку $|y|<10|c|$. Получилось у него, как видим, примерно в 4 раза хуже, чем в п. в). А между тем всё элементарно и совсем не длинно. Может, кто-нибудь теперь соблазнится и решит-таки эту задачку для 9-го класса?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.04.2011, 11:35 
Заслуженный участник


12/08/10
1718
Можно просто подставить $x=ky-c$, получить квадратное уравнение и перебрав случаи $k=0$, $k=1$(достигается оценка) $k\ge2$ можно просто оценить корни.

 Профиль  
                  
 
 Re:
Сообщение07.04.2011, 12:36 
Заслуженный участник


20/12/10
9179
Null в сообщении #432047 писал(а):
Можно просто подставить $x=ky-c$, получить квадратное уравнение и перебрав случаи $k=0$, $k=1$(достигается оценка) $k\ge2$ можно просто оценить корни.


Напишите, пожалуйста, подробно. Непонятно, как оценить корни при $|k| \geqslant 2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Граница для целочисленных решений кубического уравнения
Сообщение11.04.2011, 20:53 
Заслуженный участник


20/12/10
9179
Ну что ж, раз автор идеи не хочет писать подробное решение, придется это сделать за него (ведь действительно, "можно просто оценить корни", т.е. не особенно напрягаясь).

Предполагая $y \neq 0$, подставим $x=ky-c$ (где $k=2y^2-x^2$ --- некоторое целое ненулевое число) в уравнение и после сокращения на $y$ получим
$$
 (k^2-2)y^2-2cky+k+c^2=0,
 $$
откуда
$$
 y=\frac{ck \pm \sqrt{-k^3+2k+2c^2}}{k^2-2}=:f_\pm(k).
 $$
Очевидно, $|f_\pm(\pm 1)| \leqslant \sqrt{2c^2+1}+c$. Исследуем функции $f_\pm(k)$ при $|k| \geqslant 2$. Нетрудно видеть, что при $k \geqslant 2$ функция $f_+(k)$ принимает только положительные значения и убывает (как сумма двух убывающих функций), поэтому
$$
 |f_-(k)| \leqslant |f_+(k)|=f_+(k) \leqslant f_+(2)=
 c+\frac{\sqrt{2c^2-4}}{2}.
 $$
Аналогично, при $k \leqslant -2$ функция $f_-(k)$ принимает лишь отрицательные значения и также убывает, поэтому
$$
 |f_+(k)| \leqslant |f_-(k)|=-f_-(k) \leqslant -f_-(-2)=
 c+\frac{\sqrt{2c^2+4}}{2}.
 $$
Таким образом, $|y|=|f_\pm(k)| \leqslant \sqrt{2c^2+1}+c$ при любом $k \neq 0$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group