Тангенс , Сумма tg1 tg2 + tg2 tg3 + ... + tg(n-1) tg n

[myra_panama]

Вычислить сумму
$\tg1\cdot \tg2+\tg2\cdot \tg3+\cdots +\tg(n-1)\cdot \tgn$
с чего начать......?

[Sonic86]

Начните с разложения $\tg (k+1)$ по формуле суммы тангенса углов.

[myra_panama]

Sonic86 в сообщении #431087 писал(а):

Начните с разложения $\tg (k+1)$ по формуле суммы тангенса углов.

Имеется ввиду это:
$\sum\limits_{k=2}^{n}tg(k-1)\cdot tgk=\sum\limits_{k=2}^{n}tg(k-1)\cdot tg((k-1)+1)=\sum\limits_{k=2}^{n}tg(k-1)\cdot \frac{tg(k-1)+tg1}{1-tg(k-1)tg1}$
дальше что , если я правильно понял...

[Sonic86]

Не так немного:
$\tg (k+1) = \frac{\tg k + \tg 1}{1- \tg k \tg 1}$
Умножаем соотношение на знаменатель и внимательно на него смотрим.

[myra_panama]

Sonic86 в сообщении #431096 писал(а):

Не так немного:
$\tg (k+1) = \frac{\tg k + \tg 1}{1- \tg k \tg 1}$
Умножае.м соотношение на знаменатель и внимательно на него смотрим.

хорошо , умножу и смотрю:
$\tg (k+1) = \frac{\tg k + \tg 1}{1- \tg k \tg 1}$ отсюда ,
$\tg k\cdot \tg(k+1)=\frac1{\tg 1}[\tg(k+1)-\tg k]-1$
окончательно , при k=1,2,3,...
$\sum\limits_{k=1}^{n}\tg k\cdot\tg(k+1)=\frac{\tg(k+1)}{\tg 1}-2$
Если я , что то упустил , то подскажите...
спасибо Sonic86

[Sonic86]

Ну я сам не суммировал, но вот как раз так и предполагал. Ошибок я у Вас не вижу.
Только у Вас в правой части $k$, а должно быть $n$ ибо $k$ - индекс суммирования, а $n$ - данная переменная.
Всегда пожалуйста