Пример по математической логике из Мендельсона

[Виктор Викторов]

Пример из первого параграфа второй главы. Рассмотрим высказывание $\forall x(\exists y(x=h(y)\wedge M(y)) \Rightarrow \exists y(x=h(y)\wedge A(y)))$
Это высказывание формализация следующих высказываний: Все люди – животные. Следовательно, голова человека есть голова животного. При этом, $M(x)$ - «$x$ есть человек», $A(x)$ - «$x$ есть животное», «$h(x)$ - голова $x$». $h$ - функциональная буква с одним аргументом.
А теперь, имея в виду формализацией какого высказывания является эта формула, выберем область интерпретации $D{.}$ Первое, что приходит в голову, множество зверей (включая человека), но приглядевшись мы видим, что $h$ - функциональная буква с одним аргументом, и следовательно ей должна быть сопоставлена функция из $D$ в $D{.}$
Но $h(x)$ - голова $x{…}$ Итак, множество $D$ должно состоять из животных и их голов. Развивая успех (или казус), теперь можно рассмотреть «голову головы» и т. д. Я наврал где-нибудь или так тому и быть?

[Xaositect]

Да, такая закавыка есть. Ее можно решить, просто введя в $D$ специальное значение "не определено".

[Виктор Викторов]

Пожалуйста, подробнее. Что у нас будет не определено? Голова головы?

[Xaositect]

Да, голова головы.
Еще можно просто всегда для каждого применения функции писать предикат, проверяющий область определения, например в арифметике для деления просто дописывать, что знаменатели не должны быть равны 0.

[Виктор Викторов]

А не слишком ли много запретов? Ведь тогда мы должны запретить использовать не только для этой функции, но и для предикатов добрую половину $D$?

[Xaositect]

Есть еще вариант разделить переменные по сортам, функции по сортам аргументов и значения, предикаты по сортам аргументов, и каждому сорту сопоставить свое $D$. Опять же, ничего существенно нового с точки зрения доказуемых или истинных утверждений не получится - сорта легко кодируются дополнительными предикатами.

[Виктор Викторов]

Спасибо.