Задачка о векторном пространстве полиномов

[demeter]

Помогите решить задачку. Что-то ломаю голову - всё без толку. Задачка такая:


Дано:
1) $a_1, a_2, … , a_{n+1} $ – множество попарно разных вещественных чисел;
2) множество полиномов $\alpha_i$ из $\mathbb R_n[x]$ (векторное пространство полиномов над полем $\mathbb R$, степень которых не превышает $n$), где $і$ принимает значение от $1$ до $n+1$;
3) на $\alpha_i$ налагаются условия:
$\alpha_i (a_j) = 1$, если $i = j$, и
$\alpha_i (a_j) = 0$, если $i \neq j$.
Необходимо:
1) указать явный вид полиномов $\alpha_i$ ;
2) доказать, что множество полиномов $\alpha_i$ является базисом пространства $\mathbb R_n[x]$;
3) выразить через базисные полиномы $\alpha_i$ произвольный полином $f$ из пространства $\mathbb R_n[x]$.


Главное - подскажите, как найти явный вид базисных полиномов $\alpha_i$. С остальным, возможно, и сам разберусь.
Спасибо.

[Xaositect]

Раз $\alpha_i(a_j) = 0$ при $i\neq j$, то $a_j, j\neq i$ - это корни многочлена $\alpha_i$, и его можно разложить на множители.

[cyb12]

А это разве не полиномы Лагранжа?

[мат-ламер]

Пока это не полиномы Лагранжа, а просто интерполяционные полиномы. А полиномы Лагранжа это одна из возможных явных представлений их. И их надо явно выписать для решения пункта 1. Пункт 2 основан на определителе Вандермонда.

[Null]

Второй пункт проще делается безо всяких определителей.

[demeter]

Спасибо большое! Дальше постараюсь разобраться сам.