А
ewert же всё объяснил.
После разделения переменных и кое-каких преобразований получается уравнение Лежандра, в которое входит константа
![$\nu$ $\nu$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/4/9/b49211c7e49541e500c32b4d56d354dc82.png)
. На этом этапе её целость ниоткуда не следует: уравнение Лежандра с удовольствием имеет решение при любом вещественном
![$\nu$ $\nu$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/4/9/b49211c7e49541e500c32b4d56d354dc82.png)
.
Единственная причина брать целое
![$\nu$ $\nu$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/4/9/b49211c7e49541e500c32b4d56d354dc82.png)
-- это требование регулярности решения на всём отрезке
![$[-1, 1]$ $[-1, 1]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/3/c/43ca5ad9e1f094a31392f860ef481e5c82.png)
. Это важно в случае шара. Но в случае конуса этой причины нет, так как
![$x=-1$ $x=-1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/f/5/bf5ac0bcbf53cc190fe2bb49a301eed182.png)
не входит в область определения.
Зато у нас есть требование
![$P_{\nu}(x_0)=0$ $P_{\nu}(x_0)=0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/1/f/41fa342b4e0d2c5b9e5478be4c9af16a82.png)
, где
![$x_0=\cos(\theta_0)$ $x_0=\cos(\theta_0)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/c/4/fc49ed39024259d6f48ff56f55d078b782.png)
. Для подавляющего большинства
![$x_0$ $x_0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/7/1/e714a3139958da04b41e3e607a54445582.png)
это требование не выполняется ни при каком целом
![$\nu$ $\nu$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/4/9/b49211c7e49541e500c32b4d56d354dc82.png)
.
Попробуйте с помощью какого-нибудь математического пакета плавно менять
![$\nu$ $\nu$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/4/9/b49211c7e49541e500c32b4d56d354dc82.png)
от
![$0$ $0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/6/29632a9bf827ce0200454dd32fc3be8282.png)
до
![$10$ $10$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/0/c/b0c08f9b595a704efb907fc688034d8082.png)
и смотрите, как график
![$P_{\nu}(x)$ $P_{\nu}(x)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/0/d/70d2c0a485b2ba238e306580b4c33b4f82.png)
будет при некоторых
![$\nu$ $\nu$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/4/9/b49211c7e49541e500c32b4d56d354dc82.png)
проходить через точку
![$x=0.4$ $x=0.4$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/4/b/a4b7d50f0f47e29b137c3d66ae8808d282.png)
,
![$y=0$ $y=0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/4/2/a42b1c71ca6ab3bfc0e416ac9b58799382.png)
. Это случится в первый раз, потом во второй, в третий... Те
![$\nu$ $\nu$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/4/9/b49211c7e49541e500c32b4d56d354dc82.png)
, при которых это случилось -- корни уравнения
![$P_{\nu}(0.4)=0$ $P_{\nu}(0.4)=0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/f/a/9fa13d22ca225757346fbb3589287b1182.png)
, и в моей терминологии (см. моё предыдущее сообщение) они нумеруются индексом
![$n=1, 2, 3...$ $n=1, 2, 3...$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/3/7/4372f1208ac9506b8f7cacb31a718e7882.png)