Задача Штурма-Лиувилля

[ZumbiAzul]

Здравствуйте, уважаемые форумчане!

Не получается решить простую задачу Штурма-Лиувилля в заданной области $G$ с однородными граничными условиями вида:

\bigtriangleup $u = -\lambda $u
$u|_{\partial G} = 0,

где $\partial G$ - граница области. А область $G$ - трехмерный конус, у которого основание представляет собой часть сферической поверхности, центр кривизны которой совпадает с вершиной конуса.

[Oleg Zubelevich]

А эта задача и не обязана решаться явно. Базис из собственных функций в $L^2(G)$ существует, это из общей теории следует, а в виде явных формул...

[ZumbiAzul]

Если расписать лапласиан в сферических координатах и применить метод разделения переменных, то получаются стандартные уравнения на полиномы Лежандра (от аргумента $\cos\theta$, где $\theta$ - сферическая координата), сферические функции Бесселя и экспоненты (кажется)...

Так вот проблема в следующем. Из теории следует, что для задачи Штурма-Лиувилля характерно однозначное соответствие между собственными числами и собственными функциями (т.е. одному лямбде соответствует единственная собственная функция).
Мы требуем, что на границе собственная функция должа быть равна нулю. Граница, состоящая из боковой поверхности конуса задается лишь одной сферической координатой, скажем, $\theta_0$. Т.о. полиномы Лежандра должны быть равны нулю при $\theta=\theta_0$. Но по основной теореме алгебры полином n-ой степени имеет ровно n корней. Т.о. не получается вышеупомянутой однозначности...
Если кто-нибудь попробует решить эту задачу и найти собственные значения и собственные функции, я буду очень признателен!

[svv]

Работаем в сферических координатах; $0 \leqslant r \leqslant R$, $0 \leqslant \theta \leqslant \Theta$, $\varphi \in \mathbb R$.
Вот Ваши заветные функции: $\psi_{knm}(r, \theta, \varphi)=j_{\nu}(\chi r) P_{\nu}^{m}(\cos \theta) e^{i m\varphi}$. Смысл индексов $k$, $n$, $m$ описан ниже.
$P_{\nu}^m(z)$ -- это присоединенная функция (не полином, увы...) Лежандра; $\nu$ нецелое, $m$ целое.
Функция $j_{\nu}(z)$ -- это сферическая функция Бесселя, она выражается через обычные функции Бесселя так: $j_{\nu}(z)=\sqrt{\frac{\pi}{2z}}J_{\nu+1/2}(z)$.

Определяем значения констант $m$, $\nu$, $\chi $ следующим образом.
1) Выбираем $m$ -- целое число; тогда решение периодично, и достаточно рассматривать $\varphi \in [-\pi, +\pi]$.
2) Находим $\nu$ -- это $n$-й положительный вещественный корень уравнения $P_{\nu}^m(\cos \Theta)=0$.
3) Находим $\chi $ -- это $k$-й положительный вещественный корень уравнения $j_{\nu}(\chi R)=0$.
Таким образом, $\nu$ зависит от $n$ и $m$ (а также $\Theta$), $\chi $ зависит от $k$, $n$, $m$ (а также $R$ и $\Theta$).

Теперь Ваше $\lambda=\chi ^2$.

[ewert]

Добавлю (может, и невпопад, но вдруг чего пригодится, вдруг чего не так понято было). Совершенно верно: целочисленные значения собственных чисел, обеспечивавшиеся конкретно полиномами Лежандра -- это не более чем случайность, обусловленная конкретно идеальным для данной задачки Ш.-Л. промежутком от минус единички до единички. Ну а ежели хоть одну из единичек сбить -- естественно, и все числа и функции расползутся не особо так контролируемо.

[ZumbiAzul]

svv в сообщении #427119 писал(а):

$\nu$ нецелое

Почему?

[svv]

А ewert же всё объяснил.

После разделения переменных и кое-каких преобразований получается уравнение Лежандра, в которое входит константа $\nu$. На этом этапе её целость ниоткуда не следует: уравнение Лежандра с удовольствием имеет решение при любом вещественном $\nu$.

Единственная причина брать целое $\nu$ -- это требование регулярности решения на всём отрезке $[-1, 1]$. Это важно в случае шара. Но в случае конуса этой причины нет, так как $x=-1$ не входит в область определения.

Зато у нас есть требование $P_{\nu}(x_0)=0$, где $x_0=\cos(\theta_0)$. Для подавляющего большинства $x_0$ это требование не выполняется ни при каком целом $\nu$.

Попробуйте с помощью какого-нибудь математического пакета плавно менять $\nu$ от $0$ до $10$ и смотрите, как график $P_{\nu}(x)$ будет при некоторых $\nu$ проходить через точку $x=0.4$, $y=0$. Это случится в первый раз, потом во второй, в третий... Те $\nu$, при которых это случилось -- корни уравнения $P_{\nu}(0.4)=0$, и в моей терминологии (см. моё предыдущее сообщение) они нумеруются индексом $n=1, 2, 3...$

[ZumbiAzul]

Спасибо svv, спасибо ewert!

Мне только одна вещь осталась неочень понятной. Откуда следует, что $\lambda=\chi^2$?

[ZumbiAzul]

Всё, понял)

[ZumbiAzul]

А кто-нибудь знает, как построить функцию Лежандра с нецелым индексом в Matlab?

[svv]

Как в Matlab -- не знаю. Если бы мне понадобилось это вычислять -- написал бы программу. Здесь поможет книга:
Люк Ю. Специальные математические функции и их аппроксимации.
В этой книге вычисление всех специальных функций производится с помощью разложения по полиномам Чебышева (которые сами вычисляются элементарно и очень быстро с помощью рекуррентной формулы).

[ewert]

svv в сообщении #430558 писал(а):

В этой книге вычисление всех специальных функций производится с помощью разложения по полиномам Чебышева

Ну не буквально всех, наверное; однако же ориентированность этой книжки на именно чебышёвость (и, соотв., на максимальную вычислительную эффективность) -- не может не вызывать уважения. Соотв., и я её тоже всячески рекомендую.

[ZumbiAzul]

Спасибо!)

[Karan]

Обсуждение задачи eugrita отделено.