Параллелепипеды

[RIP]

Общее утверждение: Параллелепипеды $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и $ABCDA_2B_2C_2D_2$ не могут быть вложены один в другой, кроме указанного вырожденного случая.
Если $A_2$ лежит в параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$, то $C_2$ вылезет за его пределы.

[незваный гость]

Понял. $E'$ находится внутри, а вот $E'_1$ будет находиться снаружи.

Тем любопытнее.

[RIP]

Решение Руста работает для любых параллелепипедов,только в общем случае нер-во $\sum\limits_{i=1}^n|a_{ij}|\geqslant1$ обосновывается по-другому(оно очевидно на самом деле ).
Для прямоугольных параллелепипедов приведу другое решение(более школьное). Для простоты всё в $\mathbb{R}^3$. Для любого $R>0$ $R$-окрестность внутреннего параллелепипеда содержится в $R$-окрестности внешнего. Несложно посчитать, что объём $R$-окрестности прямоугольного параллелепипеда равен $\frac43\pi R^3+\frac{\pi L}4R^2+O(R),\ R\to\infty$, где $L$-периметр параллелепипеда(надеюсь, не ошибся). Дальше, думаю, ясно. Вот интересно, кто придумал такое решение?

[Юстас]

Можно ли в $\mathbb{R}^n$ в параллелепипед меньшего периметра вложить параллелепипед большего периметра?

[ИСН]

Это что-то along the lines известной задачи про тетраэдры. (Там удавалось добиться 4/3.) Паралелепипеды должны быть существенно не прямоугольные, а косые, причём на разный манер.

[TOTAL]

Смотря что понимается под периметром. Поди (N-1)-мерный объем границы.

[Юстас]

Я под периметром понимаю сумму длин ребер. Но можно рассмотреть и другие содержательные варианты.

[RIP]

http://dxdy.ru/topic5153.html?highlight=параллел*

[ИСН]

Блин. Мне следовало бы вспомнить.