Как изменить способ вычисления показателя?

[indra-uolles]

Здравствуйте.
Если вкратце, то проблема в следующем. Занимаюсь разработкой способа измерения показателя, характеризующего усилия, прилагаемые студентом при решении естественнонаучных задач в обучающей программе. Текущий способ измерения показателя не устраивает. Как его можно изменить? В чем заключается текущий способ и чем не устраивает, пишу ниже.

Во время решения задачи студентом происходят различные ситуации, свидетельствующие о текущем значении показателя "Усилия". Каждая такая ситуация описывается действием студента и некоторыми дополнительными условиями. Например, действие студента - получение помощи, дополнительные условия - инициатор использования помощи - обучающая программа.

Есть типы ситуаций, которые свидетельствуют о повышении значения показателя, они обозначаются $A_1, A_2, ...$, и есть типы ситуаций, которые свидетельствуют о понижении значения показателя, они обозначаются $B_1, B_2, ...$. Различные типы ситуаций вносят разный вклад в изменение показателя, поэтому каждому типу ситуации приписывается свой весовой коэффициент.

Показатель "усилия" предполагается рассчитывать по формуле
$E=\frac {{\sum _{i=1}^n}k_{A_{i}}w_{A_{i}}\alpha}{{\sum _{i=1}^n}k_{A_{i}}w_{A_{i}}\alpha+ {\sum _{j=1}^m}k_{B_{j}}w_{B_{j}}\frac{1}{\alpha}}$,

где $k_{A_{i}}$ и $k_{B_{j}}$ - сколько раз происходили ситуации соответствующих типов к текущему моменту времени, $w_{A_{i}}$ и $w_{B_{j}}$ - весовые коэффициенты типов ситуаций,$ \alpha$ - трудность задачи для студента. Предполагается, чем труднее задача для студента, тем быстрее должен расти показатель при появлении ситуации типа $A_i$ и тем медленнее он должен убывать при появления ситуации типа $B_j$.

Не устраивает способ тем, что показатель получается со "скачками". Пока никаких отслеживаемых типов ситуаций не произошло, он равен 0. Как только произошла одна ситуация типа $A_i$, он сразу становится равным 1. И продолжает таковым оставаться при появлении новых ситуаций типа $A_i$. А хочется, чтобы при появлении одних только ситуаций типа $A_i$ он потихоньку бы возрастал, а при появлении одних только ситуаций типа $B_j$ потихоньку падал, но не сильно. Границы, в которых должен изменяться данный показатель, [-1;1].

[svv]

$E=f({\sum\limits_{i=1}^n k_{A_i} w_{A_i} + {\sum\limits_{j=1}^m k_{B_j} w_{B_j})$

Для простоты я выбросил из модели трудность задачи. Устройте так, чтобы весовые коэффициенты "повышающих" ситуаций были положительными, а "понижающих" -- отрицательными. По мере накопления ситуаций просто суммируйте их веса. Тогда если ситуации будут только повышающие, сумма весов будет расти до плюс бесконечности, если только понижающие -- убывать до минус бесконечности. Если и те и другие -- будет как-то колебаться.

Так как Вы просите вогнать показатель в диапазон $[-1;+1]$, я беру от суммы весов функцию $f$, которая должна иметь такие свойства:
$\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=+1$
$\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)=-1$
$f(-x)=-f(x)$

Два примера подходящей функции:
$f(x)=\frac{\arctg ax}{\pi/2}$ (посмотреть график)
$f(x)=\frac{ax}{\sqrt{1+(ax)^2}}$ (посмотреть график)
В обоих примерах параметр $a$ определяет степень влияния ситуаций на показатель. При данном текущем $E$ его изменение при наступлении ситуации тем больше, чем больше $a$. И, естественно, изменение зависит от текущего значения показателя -- чем $|E|$ ближе к $1$, тем оно меньше, назовём это "насыщением" показателя.

Вот эквивалентный способ записи приведенной в начале формулы для показателя:
$E=f({\sum\limits_{i=1}^n w_i)$
Здесь нет группировки ситуаций по типам. Индекс $i$ нумерует ситуации по порядку возникновения. $w_i$ -- весовой коэффициент $i$-й (по моменту времени) ситуации. Как было сказано, он может быть как положительным, так и отрицательным.

[indra-uolles]

Большое спасибо:-)