x^3+y^3+1=z^3

[Xenia1996]

Руст в сообщении #426507 писал(а):

Обозначим $frac{x+y}{z-1}=\frac ab$.

Не торопитесь. Перед фраком бэкслеш требуется. Вот так:

Обозначим $\frac{x+y}{z-1}=\frac ab$

[nnosipov]

Руст в сообщении #426507 писал(а):

Разлагаем $(x+y)[(x+y)^2-3xy]=(z-1)[(z-1)^2+3z]$
Обозначим $frac{x+y}{z-1}=\frac ab$.
Тогда

$$a^3[(x+y)^2+3(x-y)^2]=4b[b^2(x+y)^2+3a(b(x+y)+a)].$$

За исключением некоторых особых (a,b) уравнение сводится к уравнению Пелля. Т.е. получается бесконечное число решений при наличии одного. Одно решение мы можем найти всегда поставив в качестве начального пусть даже отрицательные числа.

А можно привести хотя бы одну неособую пару $(a,b)$? Эта идея решения мне понравилась (гораздо лучше, чем оригинальное решение этой задачи), однако с ходу найти подходящую пару $(a,b)$ как-то не получается. (Как правило, эти уравнения Пелля почему-то не имеют решений. Впрочем, я перебрал не слишком много пар $(a,b)$.)

[Руст]

К уравнению Пелля приводится если $4(b/a)^3>1$ или $ab<0$ и должно быть $3a(4b^3-a^3)$ не является точным квадратом. Правда остается найти хотя бы одно решение хотя бы для одной такой пары.

[nnosipov]

Руст в сообщении #429654 писал(а):

К уравнению Пелля приводится если $4(b/a)^3>1$ или $ab<0$ и должно быть $3a(4b^3-a^3)$ не является точным квадратом. Правда остается найти хотя бы одно решение хотя бы для одной такой пары.

Вот именно. Я остановился на паре $(a,b)=13/7$. Но у этих Пеллей коэффициенты становятся уже большими, и вручную это делать невозможно. Где есть программа для решения общих уравнений 2-й степени с двумя неизвестными в целых числах? Может, PARI/GP это умеет делать? Подскажите, кто знает.