x^3+y^3+1=z^3

[kocuHyc]

Доказать, что уравнение $x^3+y^3+1=z^3$ имеет бесконечно много натуральных решений.

[nnosipov]

kocuHyc в сообщении #426219 писал(а):

Доказать, что уравнение $x^3+y^3+1=z^3$ имеет бесконечно много натуральных решений.

Натуральных --- это в смысле естественных? Кажется, это задача с одной из петербургских олимпиад 1990-х годов. Посмотрите в книге С.Л.Берлов, С.В.Иванов, К.П.Кохась, Петербургские математические олимпиады, СПб.: Изд-во "Лань", 1998.

[Xenia1996]

nnosipov в сообщении #426223 писал(а):

Натуральных --- это в смысле естественных?

Виктория Борисовна имела в виду "натуральночисленных".

[age]

По-моему, это неверно. Уравнения $x^3+y^3+k=z^3$ подобны уравнениям Морделла. А всякое уравнение Морделла имеет лишь конечное число решений.

[nnosipov]

age в сообщении #426268 писал(а):

По-моему, это неверно. Уравнения $x^3+y^3+k=z^3$ подобны уравнениям Морделла. А всякое уравнение Морделла имеет лишь конечное число решений.

Что такое подобны? Уравнение Морделла --- это $y^2=x^3+k$. О каком подобии идёт речь?

[arqady]

age, эта задача была на олимпиаде 239 школы в 1994 году.

[age]

nnosipov в сообщении #426297 писал(а):

О каком подобии идёт речь?

О том что там две, а там три переменные без параметров и константа $k$.

-- Вт мар 22, 2011 21:32:11 --

arqady
Интересно.. А нельзя ли привести решение?

[nnosipov]

arqady в сообщении #426300 писал(а):

age, эта задача была на олимпиаде 239 школы в 1994 году.

Там же, если не ошибаюсь, приводится и бесконечно много решений в натуральных числах уравнения $x^3+y^3+2=z^3$.

[age]

интересная задача...

[David Sunrise]

А если перенести единицу в правую часть,и правую часть получившегося уравнения рассматривать как константу (как бы закрепляем z и искать решения),пусть только при положительном z,такое уравнение всегда будет иметь решения при в любой ситуации сложившейся в правой части....так как таких констант ,будет бесконечно много то и решений изначального тоже,проще говоря я предлагаю найти какой то "простой" бесконечный класс (подмножество) решений,из всех решений этого уравнения,вот...

[nnosipov]

Вот ещё одно уравнение с тремя неизвестными, имеющее бесконечно много решений в натуральных числах: $x^3+2y^3+4z^3-6xyz=1$. (Это немного из другой оперы, но здесь, в отличие от уравнения $x^3+y^3+1=z^3$, можно и выписать все решения, и доказать, что других нет.)

[David Sunrise]

Вообщем по моему задача вообще не интересная берем y=-1,получаем что получаем,и это понятно что имеет бесконечно много решений....ну и как бы все законно они разные.....)))

[age]

David Sunrise
Речь о натуральных числах

-- Вт мар 22, 2011 22:53:00 --

я тут в одной теме писал:

age в сообщении #415886 писал(а):

Т.е. по идее уравнение $a^3-b^3+c^2=p^n$ имеет бесчисленное множество решений для любых $n$. То же самое касается и уравнения $a^3+b^3+c^3=p^n$

тогда никто не ответил. Но вот если эта задача решается, то получается что действительно $a^3+b^3+p^n=c^3$ имеет бесчисленное множество решений.

[David Sunrise]

И в правду)прошу прощения...

[Руст]

Разлагаем $(x+y)[(x+y)^2-3xy]=(z-1)[(z-1)^2+3z]$
Обозначим $frac{x+y}{z-1}=\frac ab$.
Тогда

$$a^3[(x+y)^2+3(x-y)^2]=4b[b^2(x+y)^2+3a(b(x+y)+a)].$$

За исключением некоторых особых (a,b) уравнение сводится к уравнению Пелля. Т.е. получается бесконечное число решений при наличии одного. Одно решение мы можем найти всегда поставив в качестве начального пусть даже отрицательные числа.