Сколько цифр в знаменателе?

[Xenia1996]

Дробь $\frac{100!}{6^{100}}$ привели к несократимому виду. Сколько цифр содержит десятичная запись знаменателя этой дроби?

Знаменатель я нашла, $8\cdot 3^{52}$

Верхняя оценка=27 цифр:

$8\cdot 3^{52}=8\cdot 9^{26}<8\cdot 10^{26}$

Нижняя оценка=25 цифр:

$8\cdot 3^{52}=(3^7)^7\cdot 72>2000^7\cdot 72=1000^7\cdot 2^7\cdot 72=1000^7\cdot 2^{10}\cdot 9>10^{21}\cdot 9000=9\cdot 10^{24}$

Доказать, что цифр ровно 26 я смогла лишь при помощи калькулятора, а как это сделать без него?

[whitefox]

Xenia1996 в сообщении #428756 писал(а):

Доказать, что цифр ровно 26 я смогла лишь при помощи калькулятора, а как это сделать без него?

По таблице логарифмов.

[Sonic86]

$8 \cdot 3^{52} = 8 \cdot 9^{26} = 8 \cdot 10^{26} \left( 1- \frac{1}{10}\right)^{26} < $
$< 8 \cdot 10^{26}e^{-2,6} < 10^{26} \Leftrightarrow 8 < e^{2,6} = 8 + \epsilon = \text{true}$
Правильно?

-- Вт мар 29, 2011 20:08:20 --

Тут уже одна такая зверская тема была. Надо бы найти...
Вот оно:
topic31736.html

[Xenia1996]

whitefox в сообщении #428762 писал(а):

Xenia1996 в сообщении #428756 писал(а):

Доказать, что цифр ровно 26 я смогла лишь при помощи калькулятора, а как это сделать без него?

По таблице логарифмов.

На современных олимпиадах таблицы не выдают (мне, во всяком случае, не выдавали).

-- Вт мар 29, 2011 17:11:23 --

Sonic86 в сообщении #428764 писал(а):

$8 \cdot 3^{52} = 8 \cdot 9^{26} = 8 \cdot 10^{26} \left( 1- \frac{1}{10}\right)^{26} < $
$< 8 \cdot 10^{26}e^{-2,6} < 10^{26} \Leftrightarrow 8 < e^{2,6} = 8 + \epsilon = \text{true}$
Правильно?

-- Вт мар 29, 2011 20:08:20 --

Тут уже одна такая зверская тема была. Надо бы найти...

И каким же образом, не имея подручных средств, вычислить $e^{2.6}=8+\epsilon$? Тем более, что это не 8, а 13

-- Вт мар 29, 2011 17:15:44 --

Sonic86 в сообщении #428764 писал(а):

Тут уже одна такая зверская тема была.

И, парадокс, ровно год назад!

[Maslov]

Xenia1996 в сообщении #428765 писал(а):

И каким же образом, не имея подручных средств, вычислить $e^{2.6}=8+\epsilon$?

$e^{2.6} > 2.5^{2.5} =6.25 \cdot 2.5^{0.5} > 6.25 \cdot 2.25^{0.5} = 6.25 \cdot 1.5 > 8$

[Xenia1996]

Maslov в сообщении #428770 писал(а):

Xenia1996 в сообщении #428765 писал(а):

И каким же образом, не имея подручных средств, вычислить $e^{2.6}=8+\epsilon$?

$e^{2.6} > 2.5^{2.5} =6.25 \cdot 2.5^{0.5} > 6.25 \cdot 2.25^{0.5} = 6.25 \cdot 1.5 > 8$

Так одно дело "больше 8", а другое $8+\epsilon$
Я правильно поняла, что $\epsilon$ есть бесконечно малая величина?

[Sonic86]

Цитата:

И каким же образом, не имея подручных средств, вычислить $e^{2.6}=8+\epsilon$? Тем более, что это не 8, а 13

Это как раз фигня. Уже $e^2 > 2,7^2 = (3-0,3)^2=9-0,6+...$.
Детям сложнее знать, что $\lim\limits_{n \to + \infty} \left( 1+ \frac{1}{n}\right)^n = e$ существует и чему-то там равен (причем надо конкретно знать чему).

-- Вт мар 29, 2011 20:29:30 --

Цитата:

И, парадокс, ровно год назад!

Наверное тоже с олимпиады.

[Someone]

Лентяйничать не надо. Вычислить $3^9=27^3=19683<2\cdot 10^4$ на бумажке не так уж и трудно, зато получаем

$$8\cdot 3^{52}=\frac 89\cdot 3^{54}<(3^9)^6<(2\cdot 10^4)^6=64\cdot 10^{24}=6{,}4\cdot 10^{25}.$$

С другой стороны, $3^4=81>2^3\cdot 10$ и $2^{10}=1024>10^3$, поэтому

$$8\cdot 3^{52}=8\cdot(3^4)^{13}>2^3\cdot(2^3\cdot 10)^{13}=2^{42}\cdot 10^{13}=4\cdot(2^{10})^4\cdot 10^{13}>4\cdot(10^3)^4\cdot 10^{13}=4\cdot10^{25}.$$