Компакт в матанализе

[skayfar]

Объясните плз что такое компакт? (можно на пальцах)

В Кудрявцеве (учебник матана, 2-й том) дано такое определение:

Цитата:

Множество из R^n называется компактом, если из любой последовательности его точек можно выделить сходящуюся подпоследовательность, предел которой принадлежит этому множеству.

Ничего не пойму: на уровне выражений и логических связок вроде бы все прозрачно ясно, но все вместе...

[Padawan]

В $\mathbb R^n$ компакт -- это замкнутое ограниченное множество.

[Полосин]

Проще всего объяснить на примере отрезка $[0,1]$ и интервала $(0,1)$. Отрезок - это компакт, а интервал - нет. Рассмотрим, например, последовательность $1/2, 1/2, 1/4, 3/4, 1/8, 7/8, 1/16, 15/16,...$. У нее две предельных точки (какие?), и они принадлежат отрезку, но не интервалу.
Находясь на компакте, можно переходить к пределу (возможно, предварительно выделив подпоследовательность), а находясь на интервале - вообще говоря, нет.
Описанный принцип чрезвычайно важен и играет огромную роль в математике.
Определение для $n$-мерного случая никаких новых идей не содержит.
В общем случае, конечно, компактные и некомпактные множества могут быть устроены гораздо сложнее.

[ewert]

skayfar в сообщении #428446 писал(а):

на уровне выражений и логических связок вроде бы все прозрачно ясно, но все вместе...

Понятие компактности важно для доказательства теорем существования в случае, когда не гарантирована единственность. При доказательстве обычно строится некоторая последовательность, которая, как можно надеяться, даст в пределе то, что нужно. Если она сходится. Но обычно если можно доказать сходимость, то удаётся аналогичными средствами доказать и единственность решения. А если единственности заведомо нет? Тогда и пригождаются соображения компактности: выделяем из построенной последовательности хоть что-то сходящееся, а там авось и что-то получится.

Типичный пример -- теорема Вейерштрасса о том, что непрерывная функция, заданная на компакте, ограниченна, причём её максимум и минимум достигаются. При доказательстве используется (помимо непрерывности, конечно) только компактность области определения, причём напрямую, и совершенно неважно, какой природы этот компакт -- одномерный, многомерный или вообще какой угодно.

[Portnov]

В оные (студенческие) времена писал рефератик про понятие компактности. Ничего гениального, просто несколько определений и теорем в одном месте, вдруг поможет: http://iportnov.ru/files/compact.pdf

[Padawan]

Portnov в сообщении #428735 писал(а):

В оные (студенческие) времена писал рефератик про понятие компактности. Ничего гениального, просто несколько определений и теорем в одном месте, вдруг поможет: http://iportnov.ru/files/compact.pdf

По-моему учащимся не стоит этого читать. Уже самое первое определение неправильное.

[Portnov]

Ну мейби, дело было давно... Тогда давайте правильные определения :)

[мат-ламер]

По первому определению из реферата и открытый круг можно считать компактным.

[ewert]

Да ладно вам обоим. Это -- лишь стандартная путаница между компактностью и предкомпактностью. Или, что то же -- между компактностью в себе и просто компактностью. Стандартная и для стандартной литературы.

[alex1910]

ewert в сообщении #428911 писал(а):

Да ладно вам обоим. Это -- лишь стандартная путаница между компактностью и предкомпактностью. Или, что то же -- между компактностью в себе и просто компактностью. Стандартная и для стандартной литературы.

1. Какая, нафиг, предкомпактность: ТС, наверняка, интересуется конечно-мерным случаем, в котором понятие предкомпактности малосодержательно.

2. Не понимаю, почему никто до сих пор не дал стандартного определения компактности: множество компактно, если из любого открытого покрытия можно выделить конечное подпокрытие.

Именно это и работает, когда хотят перейти от локальных к глобальным свойствам, например, от непрерывности в точке к равномерной непрерывности.

[Portnov]

alex1910
Да нет там никакого стандартного определения. Сколько учебников видел, двух совпадающих определений не нашёл :)

[maxmatem]

alex1910

Цитата:

в котором понятие предкомпактности малосодержательно.

А как вы определяете это понятие? ведь множество называется предкомпактным в топологическом пространстве, если замыкание этого множества компактно в рассматриваемом пространстве.
Так что же такое предкомпактное пространство? (я без ехидства, просто интересно.)

[alex1910]

maxmatem в сообщении #429213 писал(а):

alex1910

Цитата:

в котором понятие предкомпактности малосодержательно.

А как вы определяете это понятие? ведь множество называется предкомпактным в топологическом пространстве, если замыкание этого множества компактно в рассматриваемом пространстве.
Так что же такое предкомпактное пространство? (я без ехидства, просто интересно.)

Именно так и определяю, надеюсь тут ни с кем разногласий не возникнет.
Только беда в том, что для конечномерного евклидова пространства предкомпактность множества эквивалентна его ограниченности:)

И что вам было интересно?

[Someone]

alex1910 в сообщении #429330 писал(а):

maxmatem в сообщении #429213 писал(а):

alex1910

Цитата:

в котором понятие предкомпактности малосодержательно.

А как вы определяете это понятие? ведь множество называется предкомпактным в топологическом пространстве, если замыкание этого множества компактно в рассматриваемом пространстве.
Так что же такое предкомпактное пространство? (я без ехидства, просто интересно.)

Именно так и определяю, надеюсь тут ни с кем разногласий не возникнет.

Ну-ка, ну-ка! Мне, как топологу, тоже было бы очень интересно.
Вот имеется у нас некое топологическое пространство $X$. Как определить компактность, здесь уже говорилось (Вы же сами и говорили): пространство $X$ компактно, если любое его покрытие открытыми множествами содержит конечное подпокрытие.
А теперь определите, пожалуйста, что такое предкомпактное пространство. Заметьте, что замыкать его негде, разве что в нём самом, и ничего, кроме всё того же $X$, не получается. Так как это определить "именно так"?

[maxmatem]

alex1910

Цитата:

И что вам было интересно?

Мне было интересно, как вы так лихо, хотя ещё не понятно как определили, предкомпактное пространство, свои соображения по поводу предкомпактного множества я высказал и они подкреплены определениями почти в любом учебнике по топологии, но насчёт пространства впервые слышу.