Система ДУ(механика)

[Евгеша]

Доброго времени суток.
В результате решения одной механической задачи возникла вот такая система уравнений:

$\ddot{\theta}=0$
$\ddot{y}=\ddot{x}\tg{\theta}$
$MR\ddot{x}=J\ddot{\phi_1}\cos{\theta}$
$MR\ddot{x}=J\ddot{\phi_2}\cos{\theta}$
$MR\ddot{x}=J\ddot{\phi_3}\cos{\theta}$
$MR\ddot{x}=J\ddot{\phi_4}\cos{\theta}$
$(1+\frac{MR}{J})\ddot{x}=\cos{\theta}(\dot{x}\sin{\theta}-\dot{y}\cos{\theta})\dot{\theta}$

Здесь $\theta,x,y,\phi_1,\phi_2,\phi_3,\phi_4$ - функции времени, $M,R,J$ - константы(положительные).
Как решить такую систему(хотя бы численно)?

[Someone]

Из первого уравнения сразу находите $\theta$ и подставляете в остальные. Далее $x$ и $y$ находятся из системы, включающей второе и последнее уравнения. Не знаю уж, можно ли решить эту систему аналитически, но численно она решается стандартными методами. Зная $\ddot x$, можно далее найти $\phi_k$ (при численном решении эти функции лучше находить одновременно с $x$ и $y$).

[Евгеша]

А точно решается? А то у меня Mathematica выпендривается.

[Someone]

А Вы пытаетесь решить систему численно или точно? Насчёт точного решения я не знаю. А для численного решения систему нужно подготовить.

Прежде всего, из уравнения $\ddot\theta=0$ находим $\theta=\omega t+\theta_0$. Параметры $\omega$ и $\theta$ находятся из начальных условий. Это выражение нужно подставить в остальные уравнения.

Далее, из третьего - шестого уравнений находим $\ddot\phi_1=\ddot\phi_2=\ddot\phi_3=\ddot\phi_4$, поэтому $\phi_2=\phi_1+a_2t+b_2$, $\phi_3=\phi_1+a_3t+b_3$, $\phi_4=\phi_1+a_4t+b_4$. Параметры $a_2,b_2,a_3,b_3,a_4,b_4$ определяются из начальных условий. Отсюда следует, что из четырёх уравнений можно оставить только одно - для $\phi_1$. Но и его нужно преобразовать, исключив $\ddot x$ с помощью четвёртого уравнения.

Из второго уравнения также следует исключить $\ddot x$ таким же способом. В итоге получаются три уравнения второго порядка (проверьте, вдруг где ошибся или опечатался):

$$\begin{cases}\ddot x=\frac{J\omega}{J+MR}\cos(\omega t+\theta_0)(\dot x\sin(\omega t+\theta_0)-\dot y\cos(\omega t+\theta_0)),\\ \ddot y=\frac{J\omega}{J+MR}\sin(\omega t+\theta_0)(\dot x\sin(\omega t+\theta_0)-\dot y\cos(\omega t+\theta_0)),\\ \ddot\phi_1=\frac{MR\omega}{J+MR}(\dot x\sin(\omega t+\theta_0)-\dot y\cos(\omega t+\theta_0)).\end{cases}$$

Не забудьте о начальных данных. Они должны быть заданы вместе с уравнениями.
Я также не знаю, насколько велики возможности системы Mathematica в численном решении систем дифференциальных уравнений.

[Евгеша]

Someone, большое спасибо.