Задачка о мере множеств

[Хет Зиф]

Доказать, что если $ A $ и $ B $ открытые подмножества пространства
$ R^{n} $, то $ \mu_{*}(A\cup B)\leqslant \mu_{*}A+\mu_{*}B $ .

[Brukvalub]

Эх, если бы еще узнать смысл символа $ \mu_{*} $... (наверное, это какая-то внутренняя мера, но вот какая ? )

[Хет Зиф]

Это нижняя мера Жордана. Причем интересен вопрос когда левая часть бесконечность.

[Padawan]

Ну раз внутренняя мера Жордана открытых, то это обычная мера Лебега. По-моему так...

[Хет Зиф]

Padawan писал(а):

Ну раз внутренняя мера Жордана открытых, то это обычная мера Лебега. По-моему так...

Да не, это не так.

[Хет Зиф]

Если нижняя мера Жордана объединения множеств А и В конечна то можно воспользоваться теоремой о числе Лебега для открытого покрытия компакта. Проблема возникает в том случае когда эта мера бесконечна и пользоваться теоремой нельзя.

[Padawan]

Нижняя мера Жордана - сумма мер квадратов, попавших в наше открытое множество при n-том квадрильяже плоскости. Любая точка открытого множества при достаточно большом n попадает в такой квадрат, т.е. наше открытое множество есть обьединение всех A_n - совокупность квадратов n-того шага. Значит, по свойству непрерывности меры Лебега предел мер есть мера предела. Т.е. нижняя мера Жордана открытах есть мера Лебега.