Здравствуйте!
Пытаюсь решить задачу 12 из параграфа 11 из сборника задач Кудрявцева и др., том III, стр. 287 (Кудрявцев Л. Д., Кутасов А. Д., Чехлов В. И., Шабунин М. И. Сборник задач по математическому анализу. Том 3... — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2003):
![$\[\mathop \int\!\!\!\int \limits_S f(r)\;dS\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/d/0/fd0858c299996110fceafdd50abb38b882.png "$\[\mathop \int\!\!\!\int \limits_S f(r)\;dS\]$")
, где
![$\[r = \sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} ,f(r) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{1 - {r^2},r \le 1}\\
{0,r > 1}
\end{array}} \right.,S\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/7/8/8786547e2d3fd5cca9fc89531cf0770382.png "$\[r = \sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} ,f(r) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{1 - {r^2},r \le 1}\\
{0,r > 1}
\end{array}} \right.,S\]$")
— плоскость
.
Удалось записать его в виде повторного:
![$$\sqrt{3}\int\limits_{1/3\,a-1/3\, \sqrt{-2\,{a}^{2}+6}}^{1/3\,a+1/3\,
\sqrt{-2\,{a}^{2}+6}}\,\left[\int\limits_{1/2\,a-1/2\,y-1/2\, \sqrt{-{a}^{2}+2\,a
y-3\,{y}^{2}+2}}^{1/2\,a-1/2\,y+1/2\, \sqrt{-{a}^{2}+2\,ay-3\,{y}^{2}+
2}}\!(1-{x}^{2}-{y}^{2}- \left( a-x-y \right) ^{2}){dx}\right]{dy}$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/0/a/a0aff8423e7be3ce6ab1d934bd1fee5582.png "$$\sqrt{3}\int\limits_{1/3\,a-1/3\, \sqrt{-2\,{a}^{2}+6}}^{1/3\,a+1/3\,
\sqrt{-2\,{a}^{2}+6}}\,\left[\int\limits_{1/2\,a-1/2\,y-1/2\, \sqrt{-{a}^{2}+2\,a
y-3\,{y}^{2}+2}}^{1/2\,a-1/2\,y+1/2\, \sqrt{-{a}^{2}+2\,ay-3\,{y}^{2}+
2}}\!(1-{x}^{2}-{y}^{2}- \left( a-x-y \right) ^{2}){dx}\right]{dy}$$")
(совпадает с ответом).
Что представляет собой данный интеграл? Проекция поверхности (части плоскости
), на которой подынтегральная функция не равна нулю, на плоскость X-Y представляет собой эллипс. Вот откуда и получился верхний интеграл.
Проверку, что получившийся интеграл совпадает с ответом, я проводил с помощью Maple.
Но считать его достаточно долго (если вообще получится в таком виде). Замены пробовал, но не получилось. Подскажите, пожалуйста, что лучше сделать? Заранее спасибо! :)
нельзя?